Converta o ponto cartesiano (
) para coordenadas cilíndricas e esféricas.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para converter o ponto cartesiano
para coordenadas cilíndricas e esféricas. A gente está trabalhando com sistemas de coordenadas aqui, e para fazer essa conversão, vamos precisar usar algumas fórmulas específicas para cada tipo de coordenada.
Passo 2
Primeiro, vamos converter para coordenadas cilíndricas. Nas coordenadas cilíndricas, um ponto é representado por
, onde:
-
é a distância do ponto até o eixo (como o raio). -
é o ângulo em relação ao eixo positivo no plano . -
é a mesma coordenada do sistema cartesiano.
Para encontrar
, usamos a fórmula:
Substituindo os valores:
Para encontrar
, usamos a fórmula do arco tangente:
Substituindo:
A coordenada
permanece a mesma:
Passo 3
Agora, vamos converter para coordenadas esféricas. Nas coordenadas esféricas, um ponto é representado por
, onde:
-
é a distância do ponto até a origem. -
é o mesmo ângulo que calculamos nas coordenadas cilíndricas. -
é o ângulo entre o vetor posição e o eixo .
Para encontrar
, usamos a fórmula:
Substituindo os valores:
Já temos
.
Para encontrar
, usamos a fórmula do cosseno:
Substituindo:
Resposta
- Coordenadas Cilíndricas:
- Coordenadas Esféricas: