Converta o ponto cartesiano ( 3,3,4 ) para coordenadas cilíndricas e esféricas.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para converter o ponto cartesiano (3, 3, 4) para coordenadas cilíndricas e esféricas. A gente está trabalhando com sistemas de coordenadas aqui, e para fazer essa conversão, vamos precisar usar algumas fórmulas específicas para cada tipo de coordenada.

Passo 2

Primeiro, vamos converter para coordenadas cilíndricas. Nas coordenadas cilíndricas, um ponto é representado por (r, theta, z), onde:
  • r é a distância do ponto até o eixo z (como o raio).
  • theta é o ângulo em relação ao eixo x positivo no plano xy.
  • z é a mesma coordenada z do sistema cartesiano.
Para encontrar r, usamos a fórmula:
r = raizx^2 + y^2
Substituindo os valores:
r = raiz3^2 + 3^2 = raiz9 + 9 = raiz18 = 3raiz2
Para encontrar theta, usamos a fórmula do arco tangente:
theta = arctan(yx)
Substituindo:
theta = arctan(33) = arctan(1) = 45°
A coordenada z permanece a mesma:
z = 4

Passo 3

Agora, vamos converter para coordenadas esféricas. Nas coordenadas esféricas, um ponto é representado por (rho, theta, phi), onde:
  • rho é a distância do ponto até a origem.
  • theta é o mesmo ângulo que calculamos nas coordenadas cilíndricas.
  • phi é o ângulo entre o vetor posição e o eixo z.
Para encontrar rho, usamos a fórmula:
rho = raizx^2 + y^2 + z^2
Substituindo os valores:
rho = raiz3^2 + 3^2 + 4^2 = raiz9 + 9 + 16 = raiz34
Já temos theta = 45°.
Para encontrar phi, usamos a fórmula do cosseno:
phi = arccos(zrho)
Substituindo:
phi = arccos(4raiz34)

Resposta

  • Coordenadas Cilíndricas: (3raiz2,; 45°, ;4)
  • Coordenadas Esféricas: (raiz34,; 45°, ;arccos(4raiz34))

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