(3,0 pontos) Avalie se as seguintes funções bidimensionais satisfazem a equação de Laplace. Realize os devidos cálculos para justificar as suas respostas.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. A gente tem uma função de duas variáveis,
, e precisa verificar se essa função satisfaz a Equação de Laplace. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais de segunda ordem de
em relação a
e
, e ver se a soma delas é igual a zero, que é o que a Equação de Laplace exige.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a Equação de Laplace para funções em duas variáveis:
Isso significa que, para a função
, a soma das suas derivadas parciais de segunda ordem em
e
deve ser zero para que ela satisfaça a equação.
Passo 3
Vamos calcular a primeira derivada parcial de
em relação a
:
Agora, vamos calcular a segunda derivada parcial de
em relação a
:
Passo 4
Em seguida, vamos calcular a primeira derivada parcial de
em relação a
:
E agora, a segunda derivada parcial de
em relação a
:
Passo 5
Agora, vamos somar as duas segundas derivadas que encontramos:
Segundo a Equação de Laplace, essa soma deve ser igual a zero para que a função satisfaz a equação.
Resposta
Como
não é igual a zero, concluímos que a função
não satisfaz a Equação de Laplace.