(3,0 pontos) Avalie se as seguintes funções bidimensionais satisfazem a equação de Laplace. Realize os devidos cálculos para justificar as suas respostas.
u(x, y)=e^-x e^y

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. A gente tem uma função de duas variáveis, u(x, y) = e^-x e^y , e precisa verificar se essa função satisfaz a Equação de Laplace. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais de segunda ordem de u em relação a x e y , e ver se a soma delas é igual a zero, que é o que a Equação de Laplace exige.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a Equação de Laplace para funções em duas variáveis:
partial^2 upartial x^2 + partial^2 upartial y^2 = 0
Isso significa que, para a função u(x, y) , a soma das suas derivadas parciais de segunda ordem em x e y deve ser zero para que ela satisfaça a equação.

Passo 3

Vamos calcular a primeira derivada parcial de u em relação a x :
partial upartial x = partialpartial x ( e^-x e^y ) = -e^-x e^y
Agora, vamos calcular a segunda derivada parcial de u em relação a x :
partial^2 upartial x^2 = partialpartial x ( -e^-x e^y ) = e^-x e^y

Passo 4

Em seguida, vamos calcular a primeira derivada parcial de u em relação a y :
partial upartial y = partialpartial y ( e^-x e^y ) = e^-x e^y
E agora, a segunda derivada parcial de u em relação a y :
partial^2 upartial y^2 = partialpartial y ( e^-x e^y ) = e^-x e^y

Passo 5

Agora, vamos somar as duas segundas derivadas que encontramos:
partial^2 upartial x^2 + partial^2 upartial y^2 = e^-x e^y + e^-x e^y = 2 e^-x e^y
Segundo a Equação de Laplace, essa soma deve ser igual a zero para que a função satisfaz a equação.

Resposta

Como 2 e^-x e^y não é igual a zero, concluímos que a função u(x, y) = e^-x e^y não satisfaz a Equação de Laplace.

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