(3,0 pontos) Avalie se as seguintes funções bidimensionais satisfazem a equação de Laplace. Realize os devidos cálculos para justificar as suas respostas.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se a função bidimensional
satisfaz a Equação de Laplace. Para isso, vamos precisar calcular as segundas derivadas parciais de
em relação a
e
, e depois somá-las. Se a soma der zero, então a função satisfaz a equação.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a primeira derivada de
em relação a
. Lembrando que a derivada de
em relação a
é
.
Passo 3
Agora, vamos calcular a segunda derivada de
em relação a
. Derivando novamente
:
Simplificando:
Passo 4
Agora, vamos calcular a primeira derivada de
em relação a
. A derivada de
em relação a
é
.
Passo 5
Em seguida, calculamos a segunda derivada de
em relação a
. Derivando novamente
:
Passo 6
Agora, vamos somar as duas segundas derivadas que encontramos:
Passo 7
Para que a função satisfaz a Equação de Laplace, essa soma precisa ser igual a zero:
Analisando a expressão, percebemos que, em geral, essa igualdade não se mantém para todos os valores de
e
. Portanto, a função não satisfaz a Equação de Laplace.
Resposta
Não, a função
não satisfaz a Equação de Laplace, pois a soma das suas segundas derivadas parciais não é igual a zero.