(3,0 pontos) Avalie se as seguintes funções bidimensionais satisfazem a equação de Laplace. Realize os devidos cálculos para justificar as suas respostas.
u(x, y)=e^-x^2 ln (y)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se a função bidimensional u(x, y) = e^-x^2 ln(y) satisfaz a Equação de Laplace. Para isso, vamos precisar calcular as segundas derivadas parciais de u em relação a x e y , e depois somá-las. Se a soma der zero, então a função satisfaz a equação.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a primeira derivada de u em relação a x . Lembrando que a derivada de e^-x^2 em relação a x é -2x e^-x^2 .
partial upartial x = partialpartial x ( e^-x^2 ln(y) ) = -2x e^-x^2 ln(y)

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada de u em relação a x . Derivando novamente partial upartial x :
partial^2 upartial x^2 = partialpartial x ( -2x e^-x^2 ln(y) ) = -2 e^-x^2 ln(y) + 4x^2 e^-x^2 ln(y)
Simplificando:
partial^2 upartial x^2 = (4x^2 - 2) e^-x^2 ln(y)

Passo 4

Agora, vamos calcular a primeira derivada de u em relação a y . A derivada de ln(y) em relação a y é 1y .
partial upartial y = partialpartial y ( e^-x^2 ln(y) ) = e^-x^2 cdot 1y

Passo 5

Em seguida, calculamos a segunda derivada de u em relação a y . Derivando novamente partial upartial y :
partial^2 upartial y^2 = partialpartial y ( e^-x^2 cdot 1y ) = -e^-x^2 cdot 1y^2

Passo 6

Agora, vamos somar as duas segundas derivadas que encontramos:
partial^2 upartial x^2 + partial^2 upartial y^2 = (4x^2 - 2) e^-x^2 ln(y) - e^-x^2y^2

Passo 7

Para que a função satisfaz a Equação de Laplace, essa soma precisa ser igual a zero:
(4x^2 - 2) e^-x^2 ln(y) - e^-x^2y^2 = 0
Analisando a expressão, percebemos que, em geral, essa igualdade não se mantém para todos os valores de x e y . Portanto, a função não satisfaz a Equação de Laplace.

Resposta

Não, a função u(x, y) = e^-x^2 ln(y) não satisfaz a Equação de Laplace, pois a soma das suas segundas derivadas parciais não é igual a zero.

Exercícios relacionados