Calcule a integral de volume do $\operatorname{div} \mathbf{A}$ no volume V e o fluxo do vetor $\mathbf{A}$ na superfície $S(V)$ para os vetores abaixo:
$\mathbf{A}=2 x \mathbf{i}$

O enunciado nos dá o campo vetorial

\mathbf{A}=2x\,\mathbf{i}

e o volume

V

é o cubo definido por

0\le x\le1

0\le y\le1

0\le z\le1

.
Precisamos calcular

A integral de volume de $\operatorname{div}\mathbf{A}$ em $V$ : $\displaystyle \int_{V}\!\bigl(\nabla\cdot\mathbf{A}\bigr)\,dV$ .
O fluxo de $\mathbf{A}$ através da superfície fechada $S(V)$ : $\displaystyle \oint_{S(V)}\mathbf{A}\cdot d\mathbf{S}$ .

Calcular a divergência de

\mathbf{A}

. Como

\mathbf{A}=(A_x,A_y,A_z)=(2x,0,0)

\operatorname{div}\mathbf{A} =\frac{\partial A_x}{\partial x}+\frac{\partial A_y}{\partial y}+\frac{\partial A_z}{\partial z} =\frac{\partial (2x)}{\partial x}+0+0 =2.

Integrar

\operatorname{div}\mathbf{A}=2

sobre o cubo de aresta 1.

\int_{V}(\nabla\cdot\mathbf{A})\,dV =\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}2\,dz\,dy\,dx =2\cdot\bigl(1-0\bigr)\cdot\bigl(1-0\bigr)\cdot\bigl(1-0\bigr) =2.

Para verificar, calculamos o fluxo diretamente pelas faces de

S(V)

.
O único contributo vem da face em

x=1

, pois nas outras faces ou

\mathbf{A}=0

\mathbf{A}\perp d\mathbf{S}

Na face

x=1

o vetor normal externo é

+\mathbf{i}

\mathbf{A}(1,y,z)=2\cdot1\,\mathbf{i}=2\,\mathbf{i}

\iint_{x=1}\mathbf{A}\cdot d\mathbf{S} =\int_{0}^{1}\!\int_{0}^{1}2\,(\mathbf{i}\cdot\mathbf{i})\,dy\,dz =2\int_{0}^{1}\!\int_{0}^{1}dy\,dz =2.

Nas faces

x=0

y=0,1

z=0,1

o produto escalar é zero, logo o fluxo total é

2

\displaystyle \int_{V}\!\bigl(\nabla\cdot\mathbf{A}\bigr)\,dV = 2 \displaystyle \oint_{S(V)}\mathbf{A}\cdot d\mathbf{S} = 2

Calcule a integral de volume do \operatorname{div} \mathbf{A} no volume V e o fluxo do vetor \mathbf{A} na superfície S(V) para os vetores abaixo: \mathbf{A}=2 x \mathbf{i}