Calcule a integral de volume do $\operatorname{div} \mathbf{A}$ no volume V e o fluxo do vetor $\mathbf{A}$ na superfície $S(V)$ para os vetores abaixo:
$\mathbf{A}=y \mathbf{i}$

O enunciado pede o cálculo do volume

\int_{V}\operatorname{div}\mathbf{A}\,dV

e do fluxo

\oint_{S(V)}\mathbf{A}\cdot d\mathbf{S}

para o campo

\mathbf{A}=y\,\mathbf{i}

no cubo unitário

V\colon 0\le x\le1,\;0\le y\le1,\;0\le z\le1

. O conteúdo usado será o Teorema de Gauss (divergência) e o cálculo direto de fluxos em faces planas.

Primeiro calculamos a divergente de

\mathbf{A}

. Como

\mathbf{A}=(A_x,A_y,A_z)=(y,0,0)

\operatorname{div}\mathbf{A} =\frac{\partial A_x}{\partial x}+\frac{\partial A_y}{\partial y}+\frac{\partial A_z}{\partial z} =\frac{\partial y}{\partial x}+0+0 =0.

A integral de volume de uma função identicamente zero é zero:

\int_{V}\operatorname{div}\mathbf{A}\,dV =\int_{0}^{1}\!\!\int_{0}^{1}\!\!\int_{0}^{1}0\,dx\,dy\,dz =0.

Para verificar pelo fluxo na superfície, note que só as faces com normal na direção

x

dão contribuição, pois

\mathbf{A}

só tem componente

x

Na face

x=1

o vetor normal é

\mathbf{n}=(1,0,0)

, e

\mathbf{A}\cdot\mathbf{n}=y

. Assim

\Phi_{x=1} =\int_{0}^{1}\!\!\int_{0}^{1}y\,dz\,dy =\int_{0}^{1}y\Bigl(\int_{0}^{1}dz\Bigr)dy =\int_{0}^{1}y\,dy =\tfrac12.

Na face

x=0

o vetor normal é

\mathbf{n}=(-1,0,0)

, e

\mathbf{A}\cdot\mathbf{n}=-y

. Assim

\Phi_{x=0} =\int_{0}^{1}\!\!\int_{0}^{1}(-y)\,dz\,dy =-\int_{0}^{1}y\,dy =-\tfrac12.

Somando as contribuições

\Phi =\Phi_{x=1}+\Phi_{x=0} =\tfrac12+(-\tfrac12) =0,

o que confirma o Teorema de Gauss.

Integral de volume de

\operatorname{div}\mathbf{A}

0

Fluxo de

\mathbf{A}

S(V)

0

Calcule a integral de volume do \operatorname{div} \mathbf{A} no volume V e o fluxo do vetor \mathbf{A} na superfície S(V) para os vetores abaixo: \mathbf{A}=y \mathbf{i}