Recordando o polinômio de Taylor…
P(x)=sumn=0^infty f^(n)(0)n! x^n
  • Lembrando que f^(n)(0) significa a n-ésima derivada de f(x) aplicada em zero.
  • E não esquecer que 1 cdot 2 cdot 3 cdot ldots cdot n=n !
    Encontre o polinômio de Taylor de grau 4 da função f(x)=cos x.
    a) P4(x)=x^2-12 x^4
    b) P4(x)=-x^2+12 x^4
    c) P4(x)=x^2+12 x^4
    d) P4(x)=-x^2-12 x^4
    e) Nenhuma das anteriores

Passo 1

O enunciado pede o polinômio de Taylor de grau 4 de f(x)=cos x em torno de x=0. Vamos usar o desenvolvimento em série de Taylor, que é conteúdo de séries de potências e derivadas de ordem n avaliadas em zero.

Passo 2

Calculemos as derivadas de f(x)=cos x e suas avaliações em x=0 até a quarta ordem:
f(x)=cos x ⇒ f(0)=1
f’(x)=−sin x ⇒ f’(0)=0
f’’(x)=−cos x ⇒ f’’(0)=−1
f’’’(x)=sin x ⇒ f’’’(0)=0
f⁽⁴⁾(x)=cos x ⇒ f⁽⁴⁾(0)=1

Passo 3

O polinômio de Taylor de grau 4 é dado por:
P4(x)=sumn=0^4 f^(n)(0)n!x^n
Substituindo os valores encontrados:
P4(x)=10!x^0+01!x+(-1)2!x^2+03!x^3+14!x^4
Logo:
P4(x)=1-x^22+x^424

Passo 4

Comparando com as alternativas, nenhuma delas apresenta o termo constante 1 nem o coeficiente correto de x⁴ igual a 1/24. Portanto, a resposta certa é a opção (e).

Resposta

O polinômio de Taylor de grau 4 é P4(x)=1-x^22+x^424. A alternativa correta é (e) Nenhuma das anteriores.

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