Recordando o polinômio de Taylor…
- Lembrando que
significa a
-ésima derivada de
aplicada em zero.
- E não esquecer que
!
Encontre o polinômio de Taylor de grau 4 da função
.
a)
b)
c)
d)
e) Nenhuma das anteriores
Encontre o polinômio de Taylor de grau 4 da função
a)
b)
c)
d)
e) Nenhuma das anteriores
Passo 1
O enunciado pede o polinômio de Taylor de grau 4 de f(x)=cos x em torno de x=0. Vamos usar o desenvolvimento em série de Taylor, que é conteúdo de séries de potências e derivadas de ordem n avaliadas em zero.
Passo 2
Calculemos as derivadas de f(x)=cos x e suas avaliações em x=0 até a quarta ordem:
f(x)=cos x ⇒ f(0)=1
f’(x)=−sin x ⇒ f’(0)=0
f’’(x)=−cos x ⇒ f’’(0)=−1
f’’’(x)=sin x ⇒ f’’’(0)=0
f⁽⁴⁾(x)=cos x ⇒ f⁽⁴⁾(0)=1
f’(x)=−sin x ⇒ f’(0)=0
f’’(x)=−cos x ⇒ f’’(0)=−1
f’’’(x)=sin x ⇒ f’’’(0)=0
f⁽⁴⁾(x)=cos x ⇒ f⁽⁴⁾(0)=1
Passo 3
O polinômio de Taylor de grau 4 é dado por:
Substituindo os valores encontrados:
Logo:
Passo 4
Comparando com as alternativas, nenhuma delas apresenta o termo constante 1 nem o coeficiente correto de x⁴ igual a 1/24. Portanto, a resposta certa é a opção (e).
Resposta
O polinômio de Taylor de grau 4 é
. A alternativa correta é (e) Nenhuma das anteriores.