Calcule:
integral(x^2+2 x+1) cdot e^7 x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral l(x^2+2x+1r)e^7x,dx
Isso é uma integral de um polinômio vezes exponencial. Vamos usar integração por partes, que diz
integral u,dv = u,v - integral v,du

Passo 2

Escolhemos
u = x^2+2x+1, dv = e^7x,dx
Então
du = (2x+2),dx, v = integral e^7x,dx = e^7x7
Logo
integral (x^2+2x+1)e^7x,dx = (x^2+2x+1)e^7x7 - 17integral (2x+2)e^7x,dx
Isto é
I = e^7x(x^2+2x+1)7 - 27integral (x+1)e^7x,dx

Passo 3

Agora falta calcular
J = integral (x+1)e^7x,dx
De novo, por partes, tomamos
u = x+1, dv = e^7x,dx,
logo
du = dx, v = e^7x7
Assim
J = (x+1)e^7x7 - 17integral e^7x,dx = e^7x(x+1)7 - e^7x49 = e^7x(7x+6)49

Passo 4

Voltando a
I = e^7x(x^2+2x+1)7 - 27J = e^7x(x^2+2x+1)7 - 27cdote^7x(7x+6)49
Colocando sobre o mesmo denominador 343:
I = e^7x343l[49(x^2+2x+1)-2(7x+6)r] = e^7x343l(49x^2+98x+49 -14x-12r) = e^7x(49x^2+84x+37)343

Resposta

integral l(x^2+2x+1r)e^7x,dx = e^7x(49x^2+84x+37)343 + C

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