Calcule
integral x-2x^2+3 x-4 d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral
integral x-2x^2+3x-4,dx
Este é um caso de função racional, e vamos usar decomposição em frações parciais. Para isso, primeiro fatoramos o denominador e depois expressamos a fração como soma de termos simples.

Passo 2

Fatoramos o denominador:
x^2+3x-4 = (x-1)(x+4)
e montamos a decomposição
x-2(x-1)(x+4) = Ax-1 + Bx+4

Passo 3

Multiplicando ambos os lados por (x-1)(x+4), obtemos
x-2 = A(x+4) + B(x-1)
Igualando coeficientes, formamos o sistema
A + B = 1, 4A - B = -2,
cuja solução é
A = -tfrac15, B = tfrac65

Passo 4

Substituindo na integral:
integral x-2x^2+3x-4,dx = integral l(Ax-1 + Bx+4r),dx = Alnlvert x-1rvert + Blnlvert x+4rvert + C
Com A e B achados, vem
integral x-2x^2+3x-4,dx = -tfrac15lnlvert x-1rvert + tfrac65lnlvert x+4rvert + C

Resposta

-tfrac15lnlvert x-1rvert + tfrac65lnlvert x+4rvert + C

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