Determine o vetor gradiente e a matriz hessiana da função . Dê a equação vetorial da reta que passa pelo ponto e tem a direção do vetor .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente determinar o vetor gradiente e a matriz hessiana da função . Além disso, precisamos encontrar a equação vetorial da reta que passa pelo ponto e tem a direção do vetor gradiente calculado em .
Para resolver isso, vamos precisar entender:
Derivadas parciais: para encontrar o vetor gradiente.
Derivadas segundas: para montar a matriz hessiana.
Equação vetorial de uma reta: para expressar a reta desejada.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o vetor gradiente da função . O vetor gradiente é formado pelas derivadas parciais de em relação a e .
Vamos calcular cada derivada:
Derivada parcial de em relação a :
Derivada parcial de em relação a :
Assim, o vetor gradiente é:
Passo 3
Agora, vamos calcular o vetor gradiente no ponto . Substituímos e nas expressões que encontramos:
Então, o vetor gradiente em é .
Passo 4
Agora, vamos determinar a matriz hessiana da função . A matriz hessiana é composta pelas segundas derivadas parciais de :
Vamos calcular cada termo:
Segunda derivada parcial de em relação a ( ):
Segunda derivada parcial de em relação a ( ):
Derivada mista e (como são iguais):
Então, a matriz hessiana é:
Passo 5
Embora o exercício não peça especificamente para avaliar a matriz hessiana em um ponto, já que já determinamos a forma geral, podemos deixar essa parte aqui. Se precisarmos avaliar em algum ponto específico, basta substituir os valores de x e y na matriz hessiana que encontramos.
Passo 6
Agora, vamos encontrar a equação vetorial da reta que passa pelo ponto (1,1) e tem a direção do vetor gradiente nabla f(1,2) = (-6, -12) .
A equação vetorial de uma reta pode ser escrita da seguinte forma:
r(t) = r0 + t cdot v
onde:
r0 é o vetor posição do ponto por onde a reta passa.
v é o vetor diretor da reta.
t é o parâmetro.
Nesse caso:
r0 = (1,1)
v = (-6, -12)
Portanto, substituindo na fórmula:
r(t) = (1,1) + t cdot (-6, -12)
Resposta
A equação vetorial da reta que passa pelo ponto (1,1) e tem a direção do vetor gradiente nabla f(1,2) = (-6, -12) é: