Determine o vetor gradiente e a matriz hessiana da função f(x, y)=2 x^3-3 x y^2+2. Dê a equação vetorial da reta que passa pelo ponto (1,1) e tem a direção do vetor nabla f(1,2).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente determinar o vetor gradiente e a matriz hessiana da função f(x, y) = 2x^3 - 3xy^2 + 2 . Além disso, precisamos encontrar a equação vetorial da reta que passa pelo ponto (1,1) e tem a direção do vetor gradiente calculado em (1,2) .
Para resolver isso, vamos precisar entender:
  • Derivadas parciais: para encontrar o vetor gradiente.
  • Derivadas segundas: para montar a matriz hessiana.
  • Equação vetorial de uma reta: para expressar a reta desejada.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o vetor gradiente da função f(x, y) . O vetor gradiente é formado pelas derivadas parciais de f em relação a x e y .
Vamos calcular cada derivada:
  • Derivada parcial de f em relação a x :
fx = partial fpartial x = partialpartial x (2x^3 - 3xy^2 + 2) = 6x^2 - 3y^2
  • Derivada parcial de f em relação a y :
fy = partial fpartial y = partialpartial y (2x^3 - 3xy^2 + 2) = -6xy
Assim, o vetor gradiente é:
nabla f(x, y) = ( 6x^2 - 3y^2, -6xy )

Passo 3

Agora, vamos calcular o vetor gradiente no ponto (1,2) . Substituímos x = 1 e y = 2 nas expressões que encontramos:
nabla f(1, 2) = ( 6(1)^2 - 3(2)^2, -6(1)(2) ) = ( 6 - 12, -12 ) = ( -6, -12 )
Então, o vetor gradiente em (1,2) é nabla f(1,2) = (-6, -12) .

Passo 4

Agora, vamos determinar a matriz hessiana da função f(x, y) . A matriz hessiana é composta pelas segundas derivadas parciais de f :
H(f) = fxx & fxy fyx & fyy
Vamos calcular cada termo:
  • Segunda derivada parcial de f em relação a x ( fxx ):
fxx = partialpartial x ( fx ) = partialpartial x (6x^2 - 3y^2) = 12x
  • Segunda derivada parcial de f em relação a y ( fyy ):
fyy = partialpartial y ( fy ) = partialpartial y (-6xy) = -6x
  • Derivada mista fxy e fyx (como são iguais):
fxy = fyx = partialpartial y ( fx ) = partialpartial y (6x^2 - 3y^2) = -6y
Então, a matriz hessiana é:
H(f) = 12x & -6y -6y & -6x

Passo 5

Embora o exercício não peça especificamente para avaliar a matriz hessiana em um ponto, já que já determinamos a forma geral, podemos deixar essa parte aqui. Se precisarmos avaliar em algum ponto específico, basta substituir os valores de x e y na matriz hessiana que encontramos.

Passo 6

Agora, vamos encontrar a equação vetorial da reta que passa pelo ponto (1,1) e tem a direção do vetor gradiente nabla f(1,2) = (-6, -12) .
A equação vetorial de uma reta pode ser escrita da seguinte forma:
r(t) = r0 + t cdot v
onde:
  • r0 é o vetor posição do ponto por onde a reta passa.
  • v é o vetor diretor da reta.
  • t é o parâmetro.
Nesse caso:
  • r0 = (1,1)
  • v = (-6, -12)
Portanto, substituindo na fórmula:
r(t) = (1,1) + t cdot (-6, -12)

Resposta

A equação vetorial da reta que passa pelo ponto (1,1) e tem a direção do vetor gradiente nabla f(1,2) = (-6, -12) é:
r(t) = (1,1) + t cdot (-6, -12)
Onde t é um parâmetro real.

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