Se V é o potencial do campo de vetores F definido por F(x, y)=(y-2) i+2 j, podemos afirmar que:
a) V(x, y)=(y^22-2 y) i+x^22 j
b) V(x, y)=y-2+x
c) V(x, y)=i+j
d) V(x, y)=x y-2 x+1:
e) V(x, y)=12(y-2)^2+12 x^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre encontrar o potencial V de um campo vetorial F(x, y) = (y-2) i + 2 j . Isso envolve conceitos de cálculo vetorial, especificamente sobre campos conservativos e potenciais. Para resolver, vamos precisar usar derivadas parciais e integrar essas derivadas para achar V(x, y) .

Passo 2

Primeiro, lembremos que se V é o potencial do campo F , então F é o gradiente de V . Isso significa que:
F = nabla V = ( partial Vpartial x ) i + ( partial Vpartial y ) j
Comparando com F(x, y) = (y-2) i + 2 j , temos:
partial Vpartial x = y - 2 e partial Vpartial y = 2

Passo 3

Vamos integrar partial Vpartial x = y - 2 em relação a x para encontrar V :
V(x, y) = (y - 2)x + h(y)
Aqui, h(y) é uma função que depende só de y .

Passo 4

Agora, vamos derivar V em relação a y para encontrar partial Vpartial y :
partial Vpartial y = x + h'(y)
Sabemos que partial Vpartial y = 2 , então:
x + h'(y) = 2 Rightarrow h'(y) = 2 - x
Mas aqui temos um problema: h'(y) deveria depender apenas de y , porém está dependente de x . Isso é impossível, o que indica que não existe um potencial V(x, y) que satisfaça as condições dadas para todo x e y .

Resposta

Nenhuma das opções apresentadas está correta, pois não existe um potencial V(x, y) que satisfaça o campo vetorial dado para todo x e y .

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