Mostre que o plano tangente no ponto ao paraboloide intercepta o plano na reta .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que mostrar que o plano tangente no ponto ao paraboloide dado pela equação intercepta o plano na reta com . Vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente de derivadas parciais, para encontrar o plano tangente e depois ver onde ele corta o plano .
Passo 2
Primeiro, vamos achar o plano tangente ao paraboloide no ponto . Para isso, precisamos das derivadas parciais de em relação a e .
A derivada parcial de em relação a é:
E a derivada parcial de em relação a é:
Passo 3
No ponto , vamos calcular essas derivadas:
partial zpartial y|(1,2) = 2 times 2 = 4
Esses valores nos dão os coeficientes das direções do plano tangente.
Agora, queremos ver onde esse plano tangente corta o plano xy. O plano xy é definido por z = 0. Então, vamos substituir z = 0 na equação do plano tangente:
0 = 2x + 4y - 5
Passo 7
Rearranjando a equação:
2x + 4y - 5 = 0
Essa é exatamente a equação da reta que a gente quer mostrar que é a interseção!
Resposta
Portanto, mostramos que o plano tangente no ponto (1,2,5) ao paraboloide z = x^2 + y^2 intercepta o plano xy na reta 2x + 4y -5 = 0 com z = 0.