Mostre que o plano tangente no ponto (1,2,5) ao paraboloide z=x^2+y^2 intercepta o plano x y na reta 2 x+4 y-5=0 ; z=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que mostrar que o plano tangente no ponto (1,2,5) ao paraboloide dado pela equação z = x^2 + y^2 intercepta o plano xy na reta 2x + 4y -5 = 0 com z = 0. Vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente de derivadas parciais, para encontrar o plano tangente e depois ver onde ele corta o plano xy.

Passo 2

Primeiro, vamos achar o plano tangente ao paraboloide z = x^2 + y^2 no ponto (1,2,5). Para isso, precisamos das derivadas parciais de z em relação a x e y.
A derivada parcial de z em relação a x é:
partial zpartial x = 2x
E a derivada parcial de z em relação a y é:
partial zpartial y = 2y

Passo 3

No ponto (1,2,5), vamos calcular essas derivadas:
partial zpartial x|(1,2) = 2 times 1 = 2
partial zpartial y|(1,2) = 2 times 2 = 4
Esses valores nos dão os coeficientes das direções do plano tangente.

Passo 4

A equação geral do plano tangente é dada por:
z - z0 = partial zpartial x|(x0, y0) (x - x0) + partial zpartial y|(x0, y0) (y - y0)
Substituindo os valores que temos:
z - 5 = 2(x - 1) + 4(y - 2)

Passo 5

Vamos simplificar essa equação:
z - 5 = 2x - 2 + 4y - 8
z - 5 = 2x + 4y - 10
z = 2x + 4y - 5
Então, a equação do plano tangente é:
z = 2x + 4y - 5

Passo 6

Agora, queremos ver onde esse plano tangente corta o plano xy. O plano xy é definido por z = 0. Então, vamos substituir z = 0 na equação do plano tangente:
0 = 2x + 4y - 5

Passo 7

Rearranjando a equação:
2x + 4y - 5 = 0
Essa é exatamente a equação da reta que a gente quer mostrar que é a interseção!

Resposta

Portanto, mostramos que o plano tangente no ponto (1,2,5) ao paraboloide z = x^2 + y^2 intercepta o plano xy na reta 2x + 4y -5 = 0 com z = 0.

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