Calcule
II. Se
for uma função quadrática tal que
for uma função racional, encontre o valor de
.
II. Se
Passo 1
O enunciado tem duas partes.
I. Calcular
I. Calcular
O conteúdo aqui é integração de função racional: faremos divisão polinomial e depois decomposição em frações parciais.
II. Seja
uma função quadrática com
tal que
é uma função racional (isto é, sem termos de log). Precisamos encontrar
. Aqui usaremos decomposição em frações parciais e a condição de anular os termos geradores de log.
Passo 2
Para a parte I, fazemos divisão de
Usando divisão polinomial:
Note que
.
Passo 3
Decompondo
temos
Comparando coeficientes:
Passo 4
Logo
Integramos termo a termo:
Passo 5
Portanto a resposta da parte I é
Passo 6
Para a parte II, escrevemos
. Como
, temos
.
Fazemos a decomposição
Fazemos a decomposição
Quando
ou
, a integral gera
ou
. Para que o resultado seja puramente racional, devemos ter
Passo 7
Multiplicando por
e igualando coeficientes, encontra-se
Anulando
e
dá
, isto é
. Como
, vem
Resposta
Parte I.
Parte II.