Calcule integral x^3+5 x^2-x-22x^2+3 x-10 d x
II. Se f for uma função quadrática tal que f(0)=1 e
integral f(x)x^2(x+1)^3
for uma função racional, encontre o valor de f^prime(0).

Passo 1

O enunciado tem duas partes.
I. Calcular
integral x^3+5x^2-x-22x^2+3x-10,dx
O conteúdo aqui é integração de função racional: faremos divisão polinomial e depois decomposição em frações parciais.
II. Seja f uma função quadrática com f(0)=1 tal que
integral f(x)x^2(x+1)^3,dx
é uma função racional (isto é, sem termos de log). Precisamos encontrar f'(0). Aqui usaremos decomposição em frações parciais e a condição de anular os termos geradores de log.

Passo 2

Para a parte I, fazemos divisão de
N(x)=x^3+5x^2-x-22 por D(x)=x^2+3x-10
Usando divisão polinomial:
N(x)D(x) = x+2 + 3x-2x^2+3x-10
Note que x^2+3x-10=(x+5)(x-2).

Passo 3

Decompondo
3x-2(x+5)(x-2) =Ax+5+Bx-2,
temos
3x-2 = A(x-2)+B(x+5) = (A+B)x + (5B-2A)
Comparando coeficientes:
A+B=3, 5B-2A=-2 Longrightarrow A=tfrac177,; B=tfrac47

Passo 4

Logo
x^3+5x^2-x-22x^2+3x-10 = x+2 + 17/7x+5 + 4/7x-2
Integramos termo a termo:
integral (x+2),dx = x^22+2x, integral 17/7x+5,dx = 177lnlvert x+5rvert, integral 4/7x-2,dx = 47lnlvert x-2rvert

Passo 5

Portanto a resposta da parte I é
integral x^3+5x^2-x-22x^2+3x-10,dx = x^22+2x + 177lnlvert x+5rvert + 47lnlvert x-2rvert + C

Passo 6

Para a parte II, escrevemos f(x)=ax^2+bx+c. Como f(0)=1, temos c=1.
Fazemos a decomposição
f(x)x^2(x+1)^3 =Ax+Bx^2 +Cx+1+D(x+1)^2+E(x+1)^3
Quando Aneq0 ou Cneq0, a integral gera ln|x| ou ln|x+1|. Para que o resultado seja puramente racional, devemos ter
A=0, C=0

Passo 7

Multiplicando por x^2(x+1)^3 e igualando coeficientes, encontra-se
A = b - 3, C = 3 - b
Anulando A e C b-3=0, isto é b=3. Como f'(x)=2ax+b, vem
f'(0)=b=3

Resposta

Parte I.
integral x^3+5x^2-x-22x^2+3x-10,dx = x^22+2x + 177lnlvert x+5rvert + 47lnlvert x-2rvert + C
Parte II.
f'(0)=3

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