Sejam
. Verifique se as afirmações são verdadeiras ou falsas, dando a demonstração ou um contraexemplo.
.
Passo 1
O enunciado pede para checar se para inteiros a,b,c vale a igualdade
. O conteúdo envolvido é o máximo divisor comum (mdc) e vamos usar fatoração prima para analisar essa propriedade.
Passo 2
Vamos representar os inteiros pela fatoração em primos: seja
Então
e
Passo 3
Para cada primo p a igualdade
segura-se somente se pelo menos um dos expoentes
ou
for zero. Isto equivale a dizer que nenhum primo divide simultaneamente b e c, ou seja,
.
Passo 4
Concluímos que em geral a igualdade falha, mas ela passa a valer sempre que
. Para ver que não vale sem essa hipótese, basta um contraexemplo simples.
Passo 5
Por exemplo, tome
. Então
mas
o que mostra que
neste caso.
Resposta
Falsa em geral; a igualdade vale apenas se
.