Sejam a, b, c, d in Z. Verifique se as afirmações são verdadeiras ou falsas, dando a demonstração ou um contraexemplo.
mdc(a, b c)=mdc(a, b) mdc(a, c).

Passo 1

O enunciado pede para checar se para inteiros a,b,c vale a igualdade gcd(a,bc)=gcd(a,b),gcd(a,c). O conteúdo envolvido é o máximo divisor comum (mdc) e vamos usar fatoração prima para analisar essa propriedade.

Passo 2

Vamos representar os inteiros pela fatoração em primos: seja
a=prodp primop^alphap, b=prodpp^betap, c=prodpp^gammap
Então
gcd(a,bc)=prodp p^min(alphap,betap+gammap),
e
gcd(a,b),gcd(a,c)=l(prodp p^min(alphap,betap)r)l(prodp p^min(alphap,gammap)r)=prodp p^min(alphap,betap)+min(alphap,gammap)

Passo 3

Para cada primo p a igualdade
min(alphap,betap+gammap)=min(alphap,betap)+min(alphap,gammap)
segura-se somente se pelo menos um dos expoentes betap ou gammap for zero. Isto equivale a dizer que nenhum primo divide simultaneamente b e c, ou seja, gcd(b,c)=1.

Passo 4

Concluímos que em geral a igualdade falha, mas ela passa a valer sempre que gcd(b,c)=1. Para ver que não vale sem essa hipótese, basta um contraexemplo simples.

Passo 5

Por exemplo, tome a=4, b=2, c=4. Então
gcd(4,2cdot4)=gcd(4,8)=4,
mas
gcd(4,2),gcd(4,4)=2cdot4=8,
o que mostra que
gcd(a,bc)neqgcd(a,b),gcd(a,c) neste caso.

Resposta

Falsa em geral; a igualdade vale apenas se gcd(b,c)=1.

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