4.1 Calcule:
integral x^3raiz1+x^4 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral integral x^3raiz1+x^4,dx. Vamos usar o método de substituição, um dos conteúdos de integração que facilita lidar com funções compostas.

Passo 2

Para simplificar a raiz de 1+x^4, escolhemos a substituição u = 1 + x^4. Então, derivando ambos os lados, temos:
du = 4x^3,dx
Isso nos mostra que x^3,dx = 14,du.

Passo 3

Substituindo na integral original:
integral x^3raiz1+x^4,dx = integral 1raizu cdot 14,du = 14integral u^-tfrac12,du

Passo 4

Agora, aplicamos a regra de potência para integrais:
integral u^-tfrac12,du = u^tfrac12tfrac12 + C = 2u^tfrac12 + C
Multiplicando pelo tfrac14 que estava fora, fica
14 cdot 2u^tfrac12 + C = 12u^tfrac12 + C

Passo 5

Por fim, voltamos à variável original usando u = 1 + x^4. Assim, a antiderivada é
12raiz1 + x^4 + C

Resposta

tfrac12raiz1 + x^4 + C

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