Calcule: integral 2 x^3x^2+1 d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral de 2x^3x^2+1 em relação a x. Isso tá dentro do conteúdo de cálculo integral, mais especificamente, integração por divisão polinomial ou simplificação antes de integrar. Vamos precisar reescrever a fração para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão 2x^3x^2+1. A gente pode fazer uma divisão de polinômios aqui. Dividindo 2x^3 por , a gente obtém x^2+1.

Passo 3

Após a divisão, sobra uma expressão menos complicada. Então, 2x^3x^2+1 = 2x - 2xx^2+1. Agora, nossa integral fica dividida em duas partes: integral 2x , dx - integral 2xx^2+1 , dx.

Passo 4

Vamos integrar cada parte separadamente. A primeira integral, integral 2x , dx, é direta. A integral de 2x em relação a x é x^2.

Passo 5

A segunda integral, integral 2xx^2+1 , dx, a gente reconhece que a função no numerador é a derivada do denominador. Isso é perfeito para usar uma substituição simples. Seja u = x^2 + 1, então du = 2x , dx.

Passo 6

Substituindo na integral, fica integral 1u , du, que é igual a ln|u| + C. Voltando para x, temos ln(x^2 + 1) + C.

Passo 7

Agora, juntando as duas partes que integramos, a solução completa é x^2 - ln(x^2 + 1) + C, onde C é a constante de integração.

Resposta

A integral integral 2x^3x^2+1 dx é igual a x^2 - ln(x^2 + 1) + C.

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