Mostre que
tan(x) + sec(x) = (sen(x/2) + cos(x/2)) / (cos(x/2) - sen(x/2))

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa mostrar é que a soma de e é igual a uma fração que envolve e de metade do ângulo . Esse exercício está dentro da matéria de identidades trigonométricas, que são como equações que relacionam funções trigonométricas entre si. Para resolver isso, vamos precisar usar algumas identidades básicas e talvez as fórmulas de ângulo meio.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é e . Sabemos que:
Então, a soma fica:

Passo 3

Agora, vamos olhar para o lado direito da igualdade que precisamos provar:
Para simplificar isso, podemos usar as fórmulas de soma e diferença de ângulos para e .

Passo 4

Vamos usar as fórmulas de duplicação para e :
Mas também podemos expressar como:
No entanto, para simplificar, vamos focar em manipular a expressão original.

Passo 5

Vamos multiplicar o numerador e o denominador da fração do lado direito por para racionalizar:

Passo 6

Expandindo o numerador:
E o denominador:
Então a fração fica:

Passo 7

Lembrando que , então:
Que é exatamente o que obtivemos no Passo 2 para .

Resposta

Portanto, mostramos que:

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