Mostre que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente precisa mostrar é que a soma de
e
é igual a uma fração que envolve
e
de metade do ângulo
. Esse exercício está dentro da matéria de identidades trigonométricas, que são como equações que relacionam funções trigonométricas entre si. Para resolver isso, vamos precisar usar algumas identidades básicas e talvez as fórmulas de ângulo meio.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é
e
. Sabemos que:
Então, a soma
fica:
Passo 3
Agora, vamos olhar para o lado direito da igualdade que precisamos provar:
Para simplificar isso, podemos usar as fórmulas de soma e diferença de ângulos para
e
.
Passo 4
Vamos usar as fórmulas de duplicação para
e
:
Mas também podemos expressar
como:
No entanto, para simplificar, vamos focar em manipular a expressão original.
Passo 5
Vamos multiplicar o numerador e o denominador da fração do lado direito por
para racionalizar:
Passo 6
Expandindo o numerador:
E o denominador:
Então a fração fica:
Passo 7
Lembrando que
, então:
Que é exatamente o que obtivemos no Passo 2 para
.
Resposta
Portanto, mostramos que: