Calcule
integral x^3-2 x^2-4x^3+2 x^2 d x

Passo 1

Beleza, a questão manda a gente calcular
integral x^3 - 2x^2 - 4x^3 + 2x^2,dx
Isso é integração de função racional. Pra resolver, vamos precisar de divisão polinomial e decomposição em frações parciais, e depois integrar termos simples tipo integral x^n dx e integral tfrac1x dx.

Passo 2

Primeiro, dividimos o numerador pelo denominador. Note que
x^3 + 2x^2 = x^2(x+2),
e fazendo
x^3 -2x^2 -4x^3 + 2x^2 = 1 + x^3 -2x^2 -4 - (x^3+2x^2)x^2(x+2) = 1 + -4x^2 -4x^2(x+2) = 1 - 4,x^2+1x^2(x+2)

Passo 3

Agora a gente decompõe
x^2+1x^2(x+2) = Ax + Bx^2 + Cx+2
Multiplicando por x^2(x+2)
x^2+1 = A x(x+2) + B(x+2) + C x^2 = (A+C)x^2 + (2A+B)x + 2B
Igualando coeficientes:
A+C = 1, 2A+B = 0, 2B = 1,
de onde B=tfrac12, A=-tfrac14 e C=tfrac54.
Logo
x^2+1x^2(x+2) = -14x + 12x^2 + 54(x+2),
e portanto
x^3 -2x^2 -4x^3 + 2x^2 = 1 -4l(-tfrac14x + tfrac12x^2 + tfrac54(x+2)r) = 1 + 1x - 2x^2 - 5x+2

Passo 4

Agora é só integrar termo a termo:
integral 1,dx = x, integral 1x,dx = ln|x|, integral l(-2x^2r),dx = 2 ,1x, integral l(-5x+2r),dx = -5ln|x+2|
Somando tudo, a integral fica
x + ln|x| + 2x -5ln|x+2| + C

Resposta

x + ln|x| + 2x -5ln|x+2| + C

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