Encontre e classifique os pontos críticos da função
f(x, y)=x^2+2 y^2-4 x-8 y+5

Passo 1

O enunciado pede para encontrar e classificar os pontos críticos da função
f(x, y)=x^2+2 y^2-4 x-8 y+5
Para isso vamos calcular o gradiente e, em seguida, usar o teste da matriz Hessiana para determinar a natureza do ponto crítico.

Passo 2

Calcular o gradiente de f. As derivadas parciais são
partial fpartial x=2x-4, partial fpartial y=4y-8
Igualando a zero para achar o(s) ponto(s) crítico(s):
2x-4=0, 4y-8=0
resulta em
x=2, y=2,
logo há um único ponto crítico em (2,2).

Passo 3

Construir a matriz Hessiana de f, cujos elementos são as segundas derivadas:
Hf(x,y)= partial^2 fpartial x^2 & partial^2 fpartial xpartial y partial^2 fpartial ypartial x & partial^2 fpartial y^2 = 2 & 0 0 & 4
Os autovalores dessa matriz são 2 e 4, ambos positivos.

Passo 4

Como a matriz Hessiana em (2,2) é definida positiva (autovalores positivos), o ponto crítico (2,2) é um mínimo local. Além disso, por f ser uma função quadrática convexa, esse mínimo local é também global.

Resposta

O único ponto crítico é (2,2), que é mínimo local e global.

Exercícios relacionados