Encontre e classifique os pontos críticos da função
Passo 1
O enunciado pede para encontrar e classificar os pontos críticos da função
Para isso vamos calcular o gradiente e, em seguida, usar o teste da matriz Hessiana para determinar a natureza do ponto crítico.
Passo 2
Calcular o gradiente de . As derivadas parciais são
Igualando a zero para achar o(s) ponto(s) crítico(s):
resulta em
logo há um único ponto crítico em .
Passo 3
Construir a matriz Hessiana de , cujos elementos são as segundas derivadas:
Os autovalores dessa matriz são 2 e 4, ambos positivos.
Passo 4
Como a matriz Hessiana em (2,2) é definida positiva (autovalores positivos), o ponto crítico (2,2) é um mínimo local. Além disso, por f ser uma função quadrática convexa, esse mínimo local é também global.
Resposta
O único ponto crítico é (2,2), que é mínimo local e global.