Determine os pontos críticos das seguintes funções e classifique-os como pontos de máximo ou de mínimo local:
f(x)=-2 x^3+54 x+5

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os pontos críticos da função
f(x) = -2x^3 + 54x + 5
e classificá-los como máximo ou mínimo local. Para isso vamos precisar de derivadas: a primeira para achar os pontos críticos e a segunda para classificá-los.

Passo 2

Calculamos a primeira derivada de f:
f'(x) = ddxl(-2x^3 + 54x + 5r) = -6x^2 + 54

Passo 3

Os pontos críticos satisfazem f'(x)=0. Logo,
-6x^2 + 54 = 0 Longrightarrow x^2 = 9 Longrightarrow x = pm 3

Passo 4

Para classificar, usamos a segunda derivada:
f''(x) = ddxl(-6x^2 + 54r) = -12x

Passo 5

Avaliação em cada ponto:
Em x = 3:
f''(3) = -12cdot 3 = -36 < 0,
logo é máximo local. O valor da função é
f(3) = -2cdot3^3 + 54cdot3 + 5 = -54 + 162 + 5 = 113
Em x = -3:
f''(-3) = -12cdot(-3) = 36 > 0,
logo é mínimo local. O valor da função é
f(-3) = -2cdot(-3)^3 + 54cdot(-3) + 5 = 54 - 162 + 5 = -103

Resposta

O ponto (3,113) é um máximo local e o ponto (-3,-103) é um mínimo local.

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