Seja =-x^2 e^2, x(t)=t^2+3 t e y(t)=t^3+t. Calcule d zd t.

Passo 1

O enunciado define uma função de duas variáveis
z = -x^2e^y
e as parametrizações
x(t)=t^2+3t, y(t)=t^3+t
O que precisamos é aplicar a regra da cadeia para obter dfracdzdt.

Passo 2

Calcular as derivadas parciais de z em relação a x e a y.
Como
z(x,y) = -x^2e^y,
temos
partial zpartial x = -,2x,e^y, partial zpartial y = -,x^2,e^y

Passo 3

Calcular as derivadas de x(t) e y(t) em relação a t.
dxdt = ddtl(t^2+3tr) =2t+3, dydt = ddtl(t^3+tr) =3t^2+1

Passo 4

Aplicar a regra da cadeia para funções de duas variáveis:
dzdt = partial zpartial x,dxdt +partial zpartial y,dydt

Passo 5

Substituindo tudo em dfracdzdt:
dzdt = l(-2x,e^yr)(2t+3) +l(-x^2e^yr)(3t^2+1)
Agora colocamos x=x(t) e y=y(t):
dzdt = -2l(t^2+3tr)e^,t^3+t(2t+3) ;-;(t^2+3t)^2e^,t^3+t(3t^2+1)

Resposta

dzdt = -2l(t^2+3tr)e^,t^3+t(2t+3) ;-;(t^2+3t)^2e^,t^3+t(3t^2+1)

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