Considere a função u(x, y)=ln (raizx^2+y^2+2) e responda os itens abaixo:
Calcule o gradiente de f no ponto (1,1).

Passo 1

O enunciado nos dá a função
u(x,y)=lnl(raizx^2+y^2+2r)
e pede o gradiente nabla u no ponto (1,1). O conteúdo envolve derivadas parciais e aplicação da regra da cadeia para funções compostas.

Passo 2

Usamos a propriedade do logaritmo para simplificar antes de derivar:
u(x,y)=lnl((x^2+y^2+2)^1/2r)=tfrac12,lnl(x^2+y^2+2r)

Passo 3

Agora calculamos as derivadas parciais. Como
u(x,y)=tfrac12,lnl(x^2+y^2+2r),
temos pela regra da cadeia
partial upartial x =tfrac12cdot1x^2+y^2+2cdot 2x =xx^2+y^2+2,
partial upartial y =tfrac12cdot1x^2+y^2+2cdot 2y =yx^2+y^2+2
Logo,
nabla u(x,y) =l(xx^2+y^2+2,,yx^2+y^2+2r)

Passo 4

Avaliar em (1,1). O denominador fica
1^2+1^2+2=4,
então
nabla u(1,1)=l(tfrac14,,tfrac14r)

Resposta

nabla u(1,1)=l(tfrac14,tfrac14r)

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