Nos exercícios abaixo, verifique se a série: (a) converge absolutamente; (b) converge condicionalmente.
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Passo 1
O enunciado nos dá a série alternada
e pede para verificar (a) se ela converge absolutamente (isto é, se converge) e (b) se ela converge condicionalmente (isto é, converge, mas não converge absolutamente).
Passo 2
Para teste de convergência absoluta, consideramos a série dos valores absolutos:
Repare que os termos kln k não só não tendem a zero como crescem sem limite quando ktoinfty. Pelo teste do termo geral, se bknotto0 então sum bk diverge. Aqui bk=k/ln ktoinfty, logo
sumk=2^inftykln kdiver>=,
isto é, a série não converge absolutamente.
Passo 3
Para testar convergência condicional via critério de Leibniz (série alternada), precisamos checar se os termos ak=kln k
são monótonos decrescentes e tendem a zero. Mas:
limktoinftyak=limktoinftykln k=infty, não zero;
ak nem sequer é decrescente (cresce com k).
Logo, falha o requisito fundamental (akto0) do critério de Leibniz, e a série alternada também diverge.
Resposta
(a) Não converge absolutamente.
(b) Não converge condicionalmente.