Nos exercícios abaixo, verifique se a série: (a) converge absolutamente; (b) converge condicionalmente.
75) sumk=2^infty(-1)^k+1 kln k

Passo 1

O enunciado nos dá a série alternada
sumk=2^infty(-1)^k+1,kln k
e pede para verificar
(a) se ela converge absolutamente (isto é, se sum |ak| converge) e
(b) se ela converge condicionalmente (isto é, converge, mas não converge absolutamente).

Passo 2

Para teste de convergência absoluta, consideramos a série dos valores absolutos:
sumk=2^inftygl|;(-1)^k+1,kln kgr| =sumk=2^inftykln k
Repare que os termos kln k não só não tendem a zero como crescem sem limite quando ktoinfty. Pelo teste do termo geral, se bknotto0 então sum bk diverge. Aqui bk=k/ln ktoinfty, logo
sumk=2^inftykln kdiver>=,
isto é, a série não converge absolutamente.

Passo 3

Para testar convergência condicional via critério de Leibniz (série alternada), precisamos checar se os termos
ak=kln k
são monótonos decrescentes e tendem a zero. Mas:
  1. limktoinftyak=limktoinftykln k=infty, não zero;
  2. ak nem sequer é decrescente (cresce com k).
    Logo, falha o requisito fundamental ( akto0) do critério de Leibniz, e a série alternada também diverge.

Resposta

(a) Não converge absolutamente.
(b) Não converge condicionalmente.

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