Calcule
integral e^-x^2 d x
como uma série infinita.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é calcular a integral de $ e{-x{2}} $ em relação a $ x $ usando uma série infinita. Isso envolve conhecimentos de cálculo, especificamente de integrais e séries de potências. Vamos precisar lembrar como expandir funções exponenciais em séries e depois integrar cada termo dessa série.

Passo 2

Primeiro, vamos expandir a função $ e{-x{2}} $ em uma série de potências. A gente sabe que a série de Taylor para $ e^{t} $ é:
e^-x^2
Aqui, $ t $ é qualquer expressão. No nosso caso, substituímos $ t $ por $ -x^{2} $:
e^t

Passo 3

Agora que temos $ e{-x{2}} $ representado como uma série infinita, podemos integrar termo a termo. Isso significa que vamos integrar cada termo da série individualmente:
e^-x^2

Passo 4

Vamos resolver a integral $ \int x^{2n} , dx $. A regra da potência para integrais diz que:
integral x^2n , dx
Aplicando isso para $ k = 2n $:
integral x^k , dx = x^k+1k+1 + C

Passo 5

Substituindo o resultado da integral de volta na série, temos:
integral e^-x^2 , dx = sumn=0^infty (-1)^nn! cdot x^2n+12n+1 + C = sumn=0^infty (-1)^n x^2n+1(2n+1) n! + C

Resposta

A integral de $ e{-x{2}} , dx $ pode ser expressa como uma série infinita da seguinte forma:
e^-x^2 , dx
Onde $ C $ é a constante de integração.

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