Calcule
como uma série infinita.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é calcular a integral de $ e{-x{2}} $ em relação a $ x $ usando uma série infinita. Isso envolve conhecimentos de cálculo, especificamente de integrais e séries de potências. Vamos precisar lembrar como expandir funções exponenciais em séries e depois integrar cada termo dessa série.
Passo 2
Primeiro, vamos expandir a função $ e{-x{2}} $ em uma série de potências. A gente sabe que a série de Taylor para $ e^{t} $ é:
Aqui, $ t $ é qualquer expressão. No nosso caso, substituímos $ t $ por $ -x^{2} $:
Passo 3
Agora que temos $ e{-x{2}} $ representado como uma série infinita, podemos integrar termo a termo. Isso significa que vamos integrar cada termo da série individualmente:
Passo 4
Vamos resolver a integral $ \int x^{2n} , dx $. A regra da potência para integrais diz que:
Aplicando isso para $ k = 2n $:
Passo 5
Substituindo o resultado da integral de volta na série, temos:
Resposta
A integral de $ e{-x{2}} , dx $ pode ser expressa como uma série infinita da seguinte forma:
Onde $ C $ é a constante de integração.