Nos itens abaixo, encontre a série de Taylor de f(x) em a=0 (suponha que f tenha expansão em uma série de Taylor). E também encontre o raio de convergência associado.
f(x)=tg^-1(x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar a série de Taylor da função $ f(x) = \tan^{-1}(x) $ em torno de $ a = 0 $. Além disso, vamos determinar o raio de convergência dessa série. Pra isso, vamos precisar saber um pouco sobre séries de potências e como expandir funções usando essa técnica.

Passo 2

Primeiro, lembra que a série de Taylor de uma função $ f(x) $ em torno de $ a = 0 $ é uma série de potências que aproxima a função em torno desse ponto. No caso, queremos expandir $ \tan^{-1}(x) $. Uma forma prática de encontrar essa série é usar a fórmula da série geométrica e integrar, já que sabemos a derivada de $ \tan^{-1}(x) $.

Passo 3

Sabemos que:
ddx tan^-1(x) = 11 + x^2
Agora, a expressão $ \frac{1}{1 + x^2} $ pode ser reescrita como $ \frac{1}{1 - (-x^2)} $, o que nos lembra a série geométrica:
11 + x^2
Aqui, $ r = -x^2 $, então:
11 - (-x^2)

Passo 4

Agora, para encontrar $ \tan^{-1}(x) $, integramos a série termo a termo:
tan^-1(x)
Integrando cada termo:
tan^-1(x) = integral 11 + x^2 dx = integral sumn=0^infty (-1)^n x^2n dx
Como $ \tan^{-1}(0) = 0 $, a constante $ C = 0 $.

Passo 5

Então, a série de Taylor de $ \tan^{-1}(x) $ em torno de $ a = 0 $ é:
tan^-1(x)

Passo 6

Agora, vamos determinar o raio de convergência dessa série. Observando a série geométrica original, sabemos que ela converge para $ |x| < 1 $. Portanto, a série de Taylor que obtivemos também terá raio de convergência igual a 1.

Resposta

A série de Taylor de $ f(x) = \tan^{-1}(x) $ em $ a = 0 $ é:
f(x) = tan^-1(x)
E o raio de convergência dessa série é 1.

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