Nos itens abaixo, encontre a série de Taylor de
em
(suponha que
tenha expansão em uma série de Taylor). E também encontre o raio de convergência associado.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar a série de Taylor da função $ f(x) = \tan^{-1}(x) $ em torno de $ a = 0 $. Além disso, vamos determinar o raio de convergência dessa série. Pra isso, vamos precisar saber um pouco sobre séries de potências e como expandir funções usando essa técnica.
Passo 2
Primeiro, lembra que a série de Taylor de uma função $ f(x) $ em torno de $ a = 0 $ é uma série de potências que aproxima a função em torno desse ponto. No caso, queremos expandir $ \tan^{-1}(x) $. Uma forma prática de encontrar essa série é usar a fórmula da série geométrica e integrar, já que sabemos a derivada de $ \tan^{-1}(x) $.
Passo 3
Sabemos que:
Agora, a expressão $ \frac{1}{1 + x^2} $ pode ser reescrita como $ \frac{1}{1 - (-x^2)} $, o que nos lembra a série geométrica:
Aqui, $ r = -x^2 $, então:
Passo 4
Agora, para encontrar $ \tan^{-1}(x) $, integramos a série termo a termo:
Integrando cada termo:
Como $ \tan^{-1}(0) = 0 $, a constante $ C = 0 $.
Passo 5
Então, a série de Taylor de $ \tan^{-1}(x) $ em torno de $ a = 0 $ é:
Passo 6
Agora, vamos determinar o raio de convergência dessa série. Observando a série geométrica original, sabemos que ela converge para $ |x| < 1 $. Portanto, a série de Taylor que obtivemos também terá raio de convergência igual a 1.
Resposta
A série de Taylor de $ f(x) = \tan^{-1}(x) $ em $ a = 0 $ é:
E o raio de convergência dessa série é 1.