Use o Teorema de Green para determinar integralc(-2 x y+y^2) d x+(x^2) d y, onde c é a fronteira da região delimitada pelos gráficos de y=x^2 e y=4 x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha ointCP,dx + Q,dy com P(x,y)=-2xy+y^2 e Q(x,y)=x^2, onde C é o contorno positivamente orientado da região limitada por y=x^2 e y=4x. Vamos usar o Teorema de Green, que converte essa integral de linha numa integral dupla sobre a região R.

Passo 2

O Teorema de Green diz:
ointC P,dx + Q,dy = integral duplaR l(partial Qpartial x - partial Ppartial yr),dA
Calculamos as derivadas parciais:
partial Qpartial x = partial (x^2)partial x = 2x,
partial Ppartial y = partial (-2xy + y^2)partial y = -2x + 2y
Logo o integrando é 2x - (-2x+2y) = 4x - 2y

Passo 3

Precisamos agora descrever a região R. As curvas se intersectam quando x^2 = 4x, ou seja, x=0 e x=4. Para cada xin[0,4], temos y variando de y=x^2 (a parábola) até y=4x (a reta).
Montamos a integral dupla:
integral duplaR (4x-2y),dA = integralx=0^4 integraly=x^2^4x (4x - 2y),dy,dx

Passo 4

Calculamos primeiro a integral interna em y:
integraly=x^2^4x(4x-2y),dy = l[4x,y - y^2r]y=x^2^y=4x = l(16x^2-16x^2r) - l(4x^3 - x^4r) = -4x^3 + x^4

Passo 5

Agora integramos em x:
integral0^4(-4x^3 + x^4),dx = l[-x^4 + x^55r]0^4 = l(-256 + 10245r) = -2565

Resposta

-2565

Exercícios relacionados