Use o Teorema de Green para determinar
, onde
é a fronteira da região delimitada pelos gráficos de
e
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha
com
e
, onde
é o contorno positivamente orientado da região limitada por
e
. Vamos usar o Teorema de Green, que converte essa integral de linha numa integral dupla sobre a região
.
Passo 2
O Teorema de Green diz:
Calculamos as derivadas parciais:
Logo o integrando é
Passo 3
Precisamos agora descrever a região
. As curvas se intersectam quando
, ou seja,
e
. Para cada
, temos
variando de
(a parábola) até
(a reta).
Montamos a integral dupla:
Montamos a integral dupla:
Passo 4
Calculamos primeiro a integral interna em
:
Passo 5
Agora integramos em
: