Calcule
integral x^3 ln (5 x) d x;

Passo 1

Temos a integral integral x^3ln(5x),dx. O conteúdo envolve integração por partes, que se baseia na fórmula integral u,dv = u,v - integral v,du.

Passo 2

Escolhemos u = ln(5x) e dv = x^3,dx, pois derivar ln(5x) simplifica e integrar x^3 é direto.

Passo 3

Calculamos du e v:
du = dl(ln(5x)r) = 1x,dx
v = integral x^3,dx = x^44.

Passo 4

Aplicando integração por partes:
integral x^3ln(5x),dx = u,v - integral v,du = x^44ln(5x) - integral x^44 cdot 1x,dx

Passo 5

Simplificando o integrando restante: x^44 cdot 1x = x^34. Então
integral x^3ln(5x),dx = x^44ln(5x) - 14integral x^3,dx

Passo 6

Como integral x^3,dx = x^44, substituímos e obtemos
x^44ln(5x) - 14 cdot x^44 = x^44ln(5x) - x^416

Passo 7

Adicionando a constante de integração C, chegamos à forma final.

Resposta

x^44ln(5x) - x^416 + C

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