Calcule: integral x+1raiz2 x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! A gente tem o seguinte problema:
integral x+1raiz2x , dx
Vamos usar conhecimentos de integração de funções racionais envolvendo raízes para resolver isso. Precisaremos simplificar a expressão para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o denominador integral x + 1raiz2 cdot raizx , dx . Sabemos que 1raiz2 integral x + 1raizx , dx . Então, a integral fica:
Podemos fatorar o para fora da integral:

Passo 3

Agora, vamos dividir a fração dentro da integral:
x + 1raizx = xraizx + 1raizx = raizx + 1raizx
Portanto, a integral fica:
1raiz2 integral ( raizx + 1raizx ) , dx

Passo 4

Vamos dividir a integral em duas partes para facilitar a resolução:
1raiz2 ( integral raizx , dx + integral 1raizx , dx )
Agora, vamos resolver cada integral separadamente.

Passo 5

Primeira integral: integral x^1/2 , dx = 23 x^3/2 + C
Sabemos que . Integrando:

Passo 6

Segunda integral: integral x^-1/2 , dx = 2 x^1/2 + C
Aqui, . Integrando:

Passo 7

Agora, substituímos as integrais resolvidas de volta na expressão original:
1raiz2 ( 23 x^3/2 + 2 x^1/2 ) + C

Passo 8

Por fim, podemos simplificar a expressão:
23 raiz2 x^3/2 + 2raiz2 x^1/2 + C

Resposta

23 raiz2 , x^3/2 + 2raiz2 , x^1/2 + C

Exercícios relacionados