Uma cunha esférica de ângulo
e raio
é o sólido determinado em uma esfera de raio
por dois planos que contêm um diâmetro e fazem um ângulo
entre si. Mostre que o volume da cunha é
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos uma cunha esférica, que é uma parte de uma esfera cortada por dois planos que passam por um diâmetro e formam um ângulo
entre si. Nosso objetivo é encontrar o volume dessa cunha. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria espacial, especialmente sobre volumes de setores esféricos.
Passo 2
Vamos começar lembrando que o volume total de uma esfera é dado por:
onde
é o raio da esfera.
Passo 3
A cunha esférica é uma parte da esfera que corresponde a um ângulo sólido
. Para encontrar a fração do volume total que essa cunha representa, precisamos relacionar o ângulo
com o ângulo total ao redor do diâmetro, que é
radianos.
Passo 4
A fração do volume da cunha em relação ao volume total da esfera é:
Isso porque o ângulo total ao redor do diâmetro é
, e a cunha ocupa um ângulo
desse total.
Passo 5
Agora, multiplicamos essa fração pelo volume total da esfera para encontrar o volume da cunha:
Passo 6
Simplificando a expressão:
Resposta
O volume da cunha esférica é: