Uma cunha esférica de ângulo alpha e raio r é o sólido determinado em uma esfera de raio r por dois planos que contêm um diâmetro e fazem um ângulo alpha entre si. Mostre que o volume da cunha é V = (2/3) α r^3.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos uma cunha esférica, que é uma parte de uma esfera cortada por dois planos que passam por um diâmetro e formam um ângulo alpha entre si. Nosso objetivo é encontrar o volume dessa cunha. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria espacial, especialmente sobre volumes de setores esféricos.

Passo 2

Vamos começar lembrando que o volume total de uma esfera é dado por:
onde r é o raio da esfera.

Passo 3

A cunha esférica é uma parte da esfera que corresponde a um ângulo sólido alpha. Para encontrar a fração do volume total que essa cunha representa, precisamos relacionar o ângulo alpha com o ângulo total ao redor do diâmetro, que é radianos.

Passo 4

A fração do volume da cunha em relação ao volume total da esfera é:
çã
Isso porque o ângulo total ao redor do diâmetro é , e a cunha ocupa um ângulo alpha desse total.

Passo 5

Agora, multiplicamos essa fração pelo volume total da esfera para encontrar o volume da cunha:

Passo 6

Simplificando a expressão:

Resposta

O volume da cunha esférica é:

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