Calcule os limites das funções abaixo.
c) lim x 1 raizx-1x^13-1

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular o limite da função quando lim x 1 raizx-1x^13-1 se aproxima de 1, especificamente:
Vamos usar conceitos de Limites e Cálculo Diferencial para resolver isso. Primeiro, vamos verificar se simplesmente substituir funciona ou se precisamos de mais passos.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir raiz1-11^13-1 = 1 - 11 - 1 = 00 na função para ver o que acontece:
Vimos que isso resulta em uma forma indeterminada , então não podemos resolver desse jeito direto. Precisamos de outra estratégia.

Passo 3

Quando encontramos uma forma indeterminada como , uma das ferramentas que podemos usar é a Regra de L’Hospital. Essa regra nos permite calcular o limite derivando o numerador e o denominador separadamente.

Passo 4

Primeiro, vamos derivar o numerador e o denominador:
  • Derivada do numerador: ddx raizx = 12 x^-12 = 12raizx
    ddx x^13 = 13 x^-23 = 13x^23
  • Derivada do denominador:

Passo 5

Agora, aplicando a Regra de L’Hospital, o limite original passa a ser:
lim x 1 12raizx13x^23 = lim x 1 3x^232raizx

Passo 6

Agora, conseguimos simplificar e substituir 3(1)^232raiz1 = 3 cdot 12 cdot 1 = 32 sem problemas:

Resposta

32

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