Calcule os limites das funções abaixo.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver o limite
. Esse exercício faz parte do estudo de limites de funções, especificamente quando entram em jogo expressões envolvendo raízes. Para resolver, vamos precisar entender como lidar com expressões que, ao substituir o valor de
, dão uma forma indeterminada do tipo
.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar o que acontece se substituirmos
diretamente na expressão:
Como temos uma forma indeterminada, não podemos concluir o valor do limite apenas substituindo. Precisamos de outra estratégia.
Passo 3
Uma maneira de resolver limites que resultam em
é aplicar a regra de L’Hôpital, que nos permite derivar o numerador e o denominador separadamente. Mas, antes de aplicar essa regra, vamos entender melhor as funções que temos.
Passo 4
Vamos reescrever as expressões com raízes para facilitar a derivação:
Agora, nossa função fica:
Passo 5
Aplicando a regra de L’Hôpital, derivamos o numerador e o denominador em relação a
:
Passo 6
Agora, aplicamos a regra de L’Hôpital substituindo pelo limite das derivadas:
Passo 7
Simplificamos as frações:
E para os termos com as potências:
Passo 8
Agora, o limite fica:
Substituímos
:
Resposta
Portanto, o limite é
.