Calcule os limites das funções abaixo.
d) lim x 0 raiz1+x-1(1+x)^13-1

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite . Esse exercício faz parte do estudo de limites de funções, especificamente quando entram em jogo expressões envolvendo raízes. Para resolver, vamos precisar entender como lidar com expressões que, ao substituir o valor de , dão uma forma indeterminada do tipo .

Passo 2

Primeiro, vamos verificar o que acontece se substituirmos raiz1+0-1(1+0)^13-1 = 1-11-1 = 00 diretamente na expressão:
Como temos uma forma indeterminada, não podemos concluir o valor do limite apenas substituindo. Precisamos de outra estratégia.

Passo 3

Uma maneira de resolver limites que resultam em é aplicar a regra de L’Hôpital, que nos permite derivar o numerador e o denominador separadamente. Mas, antes de aplicar essa regra, vamos entender melhor as funções que temos.

Passo 4

Vamos reescrever as expressões com raízes para facilitar a derivação:
raiz1+x = (1+x)^12 e (1+x)^13
Agora, nossa função fica:
(1+x)^12 - 1(1+x)^13 - 1

Passo 5

Aplicando a regra de L’Hôpital, derivamos o numerador e o denominador em relação a Derivada do numerador: ddx ( (1+x)^12 - 1 ) = 12(1+x)^-12 :
Derivada do denominador: ddx ( (1+x)^13 - 1 ) = 13(1+x)^-23

Passo 6

Agora, aplicamos a regra de L’Hôpital substituindo pelo limite das derivadas:
limx 0 12(1+x)^-1213(1+x)^-23 = limx 0 1213 cdot (1+x)^-12(1+x)^-23

Passo 7

Simplificamos as frações:
1213 = 12 cdot 31 = 32
E para os termos com as potências:
(1+x)^-12(1+x)^-23 = (1+x)^-12 + 23 = (1+x)^16

Passo 8

Agora, o limite fica:
32 cdot limx 0 (1+x)^16
Substituímos (1+0)^16 = 1 :

Resposta

Portanto, o limite é .

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