Calcule: integral(z^2+1z^2)^2 d z

Passo 1

Vamos resolver a integral ∫(z² + \frac{1}{z²})² dz. Aqui, vamos trabalhar com potências de funções racionais e aplicar a expansão de binômios para simplificar a expressão antes de integrar. Para isso, vamos precisar expandir o quadrado da soma e depois integrar cada termo individualmente.

Passo 2

Primeiro, vamos expandir o quadrado da soma dentro da integral:
(z² + 1z²)² = z^4 + 2 cdot z^2 cdot 1z^2 + 1z^4 ²²²
Simplificando cada termo:
z^4 + 2 + 1z^4

Passo 3

Agora, a integral fica mais simples:
integral (z^4 + 2 + 1z^4) dz
Podemos separar essa integral em três partes:
integral z^4 dz + integral 2 dz + integral 1z^4 dz

Passo 4

Vamos integrar cada termo separadamente usando a regra de integração de potências, que diz que ∫z^n dz = \frac{z^{n+1}}{n+1} + C, onde C é a constante de integração.
Primeiro termo:
integral z^4 dz = z^55

Passo 5

Segundo termo:
integral 2 dz = 2z

Passo 6

Terceiro termo:
integral 1z^4 dz = integral z^-4 dz = z^-3-3 = -13z^3

Resposta

Juntando todos os termos integrados, temos:
z^55 + 2z - 13z^3 + C
onde C é a constante de integração.

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