Calcule
integral x+3 cos x^2 d x

Passo 1

Neste exercício vamos calcular a integral indefinida de x + 3cos(x^2). O conteúdo aqui é integração, em que usaremos a regra de potência e também precisaremos reconhecer que a primitiva de cos(x^2) não se expressa em funções elementares.

Passo 2

Podemos decompor a integral em duas partes:
integral l(x + 3cos(x^2)r),dx = integral x,dx + 3integral cos(x^2),dx

Passo 3

Para a primeira parte aplicamos a regra de potência:
integral x,dx = x^22 + C1

Passo 4

A segunda parte, integral cos(x^2),dx, não tem primitiva em termos de funções elementares. Para contornar isso, definimos a função de Fresnel
F(x) = integral0^x cos(t^2),dt
Isso significa que integral cos(x^2),dx = F(x) + C2.

Passo 5

Juntando tudo, obtemos a primitiva geral como soma das duas partes e unificando as constantes de integração em uma só constante C.

Resposta

x^22 + 3integral0^x cos(t^2),dt + C

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