Determine a imagem das funções
(f(x)=\frac{1}{1-2^{-x}}’
(f(x)=\frac{1}{1-2^{-x}}’
Passo 1
O enunciado pede determinar a imagem da função f(x) =
. O conteúdo aqui é análise de imagem de função usando limites e assíntotas. Vamos usar substituição de variável, estudar domínio e calcular limites para encontrar todos os valores que f(x) pode assumir.
Passo 2
Para simplificar, fazemos a substituição
. Como
para todo
, temos
. A função fica
Passo 3
Analisando o ramo
: então
e
. O denominador
é positivo, logo
. Quando
, temos
e
. Daí,
Passo 4
Analisando o ramo
: então
e
. O denominador
é negativo, logo
. Quando
,
e
. Daí,
Passo 5
Unindo os dois ramos, a imagem de
é a união de
com
.
Resposta
(-\infty,0) \cup (1,+\infty)