Determine a imagem das funções
(f(x)=\frac{1}{1-2^{-x}}’

Passo 1

O enunciado pede determinar a imagem da função f(x) = 11-2^-x. O conteúdo aqui é análise de imagem de função usando limites e assíntotas. Vamos usar substituição de variável, estudar domínio e calcular limites para encontrar todos os valores que f(x) pode assumir.

Passo 2

Para simplificar, fazemos a substituição t = 2^-x. Como 2^-x>0 para todo xinR, temos tin(0,+infty). A função fica
f = 11 - t

Passo 3

Analisando o ramo x>0: então -x<0 e t=2^-xin(0,1). O denominador 1 - t é positivo, logo f(x)>0. Quando xto0^+, temos tto1^- e 1 - tto0^+. Daí,
f(x) to +infty Quando xto+infty, tto0^+ e 1 - tto1. Daí,
f(x) to 1 Portanto, para x>0, f(x) varre o intervalo (1,+infty).

Passo 4

Analisando o ramo x<0: então -x>0 e t=2^-xin(1,+infty). O denominador 1 - t é negativo, logo f(x)<0. Quando xto0^-, tto1^+ e 1 - tto0^-. Daí,
f(x) to -infty Quando xto-infty, tto+infty e 1 - tto-infty. Daí,
f(x) to 0^- Portanto, para x<0, f(x) varre (infinitamente negativo até zero, mas sem incluir zero).

Passo 5

Unindo os dois ramos, a imagem de f é a união de (1,+infty) com .

Resposta

(-\infty,0) \cup (1,+\infty)

Exercícios relacionados