Determine a imagem das funções
f(x)=4^x-2^x+1

Passo 1

O enunciado pede a imagem (conjunto de valores de saída) da função f(x)=4^x-2^x+1. Vamos usar conhecimentos de exponenciais e análise de quadráticas para resolver.

Passo 2

Observamos que 4^x=(2^x)^2. Definindo t=2^x com t>0, reescrevemos a função como f(t)=t^2 - t +1.

Passo 3

A expressão f(t)=t^2-t+1 é uma parábola com coeficiente a=1>0, então possui um mínimo no vértice. Calculamos tv=-b2a=tfrac12 e o valor mínimo é
fl(tfrac12r)=(tfrac12)^2-tfrac12+1=tfrac34

Passo 4

Como t varia em todo o intervalo (0,infty), o valor tfrac34 é realmente atingido (ocorre em t=tfrac12, ou seja, x=-1), e para ttoinfty temos ftoinfty.

Passo 5

Portanto, o menor valor de f(x) é tfrac34 e não há maior valor finito, logo a imagem é o intervalo fechado em tfrac34 até infinito.

Resposta

[tfrac34,infty)

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