Calcule:
integral x+3x^2-2 d x

Passo 1

Neste exercício queremos calcular a integral indefinida integral x+3x^2-2,dx. O conteúdo envolvido é integração de funções racionais, e vamos precisar de técnicas de decomposição de frações e de substituição.

Passo 2

Separe a integral em duas partes: integral x+3x^2-2dx=integral xx^2-2dx+3integral 1x^2-2dx Assim ficamos com uma parte que usa substituição e outra que usa a forma padrão de integraltfracdxx^2-a^2.

Passo 3

Para a primeira parte, faça a substituição u=x^2-2. Então du=2x,dx e integral xx^2-2dx=12integral duu=12ln|u|+C1=12ln|x^2-2|+C1

Passo 4

Para a segunda parte, usamos a fórmula padrão integral dxx^2-a^2=12aln|x-ax+a|+C Aqui a=raiz2, então
integral dxx^2-2=12raiz2ln|x-raiz2x+raiz2|+C2Multiplicando por 3, fica 3integraldxx^2-2=32raiz2ln|x-raiz2x+raiz2|+C2'.

Passo 5

Somando os dois resultados e agrupando constantes, obtemos
integral x+3x^2-2dx=12ln|x^2-2|+32raiz2ln|x-raiz2x+raiz2|+C

Resposta

\displaystyle \frac12\ln\bigl|x^2-2\bigr|+\frac{3}{2\sqrt2}\ln!,\biggl|\frac{x-\sqrt2}{x+\sqrt2}\biggr|+C

Exercícios relacionados