Divida f por g aplicando o método da chave, para determinar o quociente e o resto da divisão.
f=3 x^3+6 x^2+9, g=3 x^2+1

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa divisão de polinômios! A gente tem que dividir f = 3x^3 + 6x^2 + 9 por g = 3x^2 + 1 usando o método da chave, que é como a divisão longa para polinômios. Vamos precisar alinhar os termos por ordem de grau e seguir os passos certinhos pra achar o quociente e o resto.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar os polinômios em ordem decrescente de potências de x . No caso de f , percebe que está faltando o termo x , então a gente coloca ele com coeficiente zero pra ficar direitinho:
f = 3x^3 + 6x^2 + 0x + 9
g está completo:
g = 3x^2 + 0x + 1

Passo 3

Agora, começamos a divisão. A gente olha para o primeiro termo de f que é 3x^3 e divide pelo primeiro termo de g que é 3x^2 .
3x^33x^2 = x
Esse x vai ser o primeiro termo do nosso quociente.

Passo 4

Multiplicamos esse x pelo polinômio g :
x times (3x^2 + 1) = 3x^3 + x
Agora, subtraímos esse resultado do polinômio f :
(3x^3 + 6x^2 + 0x + 9) - (3x^3 + x) &= 6x^2 - x + 9
Ficou assim:
6x^2 - x + 9

Passo 5

Repetimos o processo com o novo polinômio 6x^2 - x + 9 . Dividimos o primeiro termo 6x^2 pelo primeiro termo de g , que é 3x^2 :
6x^23x^2 = 2
Esse 2 é o próximo termo do quociente.

Passo 6

Multiplicamos o 2 por g :
2 times (3x^2 + 1) = 6x^2 + 2
Subtraímos esse resultado do polinômio que temos:
(6x^2 - x + 9) - (6x^2 + 2) &= -x + 7
Agora, temos:
-x + 7

Passo 7

O grau do resto -x + 7 é menor que o grau de g que é 3x^2 + 1 , então paramos por aqui.

Resposta

O quociente da divisão é x + 2 e o resto é -x + 7 . Ou seja,
3x^3 + 6x^2 + 93x^2 + 1 = x + 2 com resto -x + 7

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