Sendo: p(x)=2 x^3+x^2-8 x e q(x)=x^2-4, qual o valor de p(x)q(x)?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas funções polinomiais:
  • p(x) = 2x^3 + x^2 - 8x
  • q(x) = x^2 - 4
A gente precisa encontrar o valor de p(x)q(x) . Isso envolve dividir um polinômio por outro, então vamos usar a divisão de polinômios para simplificar essa fração.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona a divisão de polinômios. É parecido com a divisão comum, mas trabalhamos com termos de potências de x . A gente vai dividir p(x) por q(x) .
Aqui, p(x) = 2x^3 + x^2 - 8x e q(x) = x^2 - 4 . Nosso objetivo é ver quantas vezes q(x) cabe em p(x) e encontrar o resto, se houver.

Passo 3

Vamos começar a divisão:
  1. Dividir o primeiro termo de p(x) pelo primeiro termo de q(x) :
2x^3x^2 = 2x
Esse 2x é o primeiro termo do nosso quociente.
  1. Multiplicar q(x) por 2x e subtrair do p(x) :
2x cdot (x^2 - 4) = 2x^3 - 8x
Subtraindo isso de p(x) :
(2x^3 + x^2 - 8x) - (2x^3 - 8x) = x^2
Agora, o resto é x^2 .

Passo 4

Como o grau do resto ( x^2 ) é igual ao grau de q(x) , podemos continuar a divisão.
  1. Dividir o primeiro termo do resto pelo primeiro termo de q(x) :
x^2x^2 = 1
Esse 1 é o próximo termo do quociente.
  1. Multiplicar q(x) por 1 e subtrair do resto:
1 cdot (x^2 - 4) = x^2 - 4
Subtraindo isso do resto anterior:
x^2 - (x^2 - 4) = 4
Agora, o novo resto é 4 .

Passo 5

A gente terminou a divisão porque o grau do novo resto ( 4 ) é menor que o grau de q(x) ( x^2 ). Então, podemos escrever a fração p(x)q(x) como:
p(x)q(x) = 2x + 1 + 4x^2 - 4

Resposta

p(x)q(x) = 2x + 1 + 4x^2 - 4

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