Desenhe o conjunto A dado e calcule a área onde:
A é o conjunto de todos os pontos ( x, y ) tais que 0 <= x <= 4-x^2

Passo 1

O enunciado define
A como o conjunto
A = (x,y)mid 0 <= y <= 4 - x^2
O assunto é cálculo de área de uma região plana por integração. Para desenhar, note que a curva limite superior é a parábola invertida y=4 - x^2, com vértice em (0,4) e raízes em x=pm2, e a reta limite inferior é o eixo x (reta y=0).

Passo 2

Determinar para quais x a região existe, ou seja, resolver
4 - x^2 >= 0
Longrightarrow x^2 <= 4
Longrightarrow -2 <= x <= 2

Passo 3

A área de A é dada pela integral da “altura” (4 - x^2) ao longo de x de -2 a 2:
Área(A) = integral-2^2 l(4 - x^2r),dx Á

Passo 4

Calcular a integral:
integral (4 - x^2),dx = integral 4,dx ;-;integral x^2,dx = 4x ;-;x^33
Então
Área(A) = l[,4x - x^33r]-2^2 Á

Passo 5

Avaliar nos limites:
l(4cdot2 - 2^33r) - l(4cdot(-2) - (-2)^33r) = l(8 - 83r) - l(-8 + 83r) = 16 - 163 = 323

Resposta

A área do conjunto A é tfrac323

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