Sem efetuar a divisão, determine a e b de modo que o polinômio f=(x+2)^3+(x-1)^3+2 a x+b seja divisível por g=(x-2)^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem o polinômio f = (x+2)^3 + (x-1)^3 + 2a,x + b e queremos encontrar os valores de a e b de forma que f seja divisível por g = (x-2)^2 . Isso significa que, quando dividimos f por g , o resto da divisão será zero. Para resolver isso, vamos usar o conceito de que, se (x-2)^2 divide f(x) , então x = 2 é uma raiz de multiplicidade 2 para f(x) . Ou seja, f(2) = 0 e a derivada f'(2) = 0 .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular f(2) . Substituindo x = 2 na expressão de f :
f(2) = (2+2)^3 + (2-1)^3 + 2a cdot 2 + b
Simplificando:
f(2) = 4^3 + 1^3 + 4a + b = 64 + 1 + 4a + b = 65 + 4a + b
Como f(2) = 0 , temos a primeira equação:
65 + 4a + b = 0 (Equação 1) çã

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada de f(x) , que é f'(x) :
f(x) = (x+2)^3 + (x-1)^3 + 2a,x + b
Derivando termo a termo:
f'(x) = 3(x+2)^2 + 3(x-1)^2 + 2a
Agora, substituindo x = 2 :
f'(2) = 3(2+2)^2 + 3(2-1)^2 + 2a = 3(4)^2 + 3(1)^2 + 2a = 3 cdot 16 + 3 cdot 1 + 2a = 48 + 3 + 2a = 51 + 2a
Como f'(2) = 0 , temos a segunda equação:
51 + 2a = 0 (Equação 2) çã

Passo 4

Agora, vamos resolver as duas equações que obtivemos:
Equação 2:
51 + 2a = 0 implies 2a = -51 implies a = -512
Equação 1:
Sabendo que a = -512 , substituímos na Equação 1:
65 + 4(-512) + b = 0
Simplificando:
65 - 2 cdot 51 + b = 0 implies 65 - 102 + b = 0 implies -37 + b = 0 implies b = 37

Resposta

Os valores são a = -dfrac512 e b = 37 .

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