Determine o domínio, a imagem, a paridade, o período, e esboce o gráfico das funções a seguir:
Passo 1
O enunciado pede para analisarmos a função
determinando seu domínio, sua imagem (conjunto-alvo), sua paridade, seu(s) eventual(is) período(s) e, por fim, esboçar o gráfico. Vamos usar conhecimentos de funções polinomiais e definição de paridade e periodicidade.
Passo 2
Domínio de uma função polinomial: todo polinômio está definido para qualquer
.
Portanto
Portanto
Passo 3
Imagem de
: como o quadrado de um número real nunca é negativo e atinge
em
, temos
logo
Passo 4
Paridade: calculamos
:
Como
para todo
, a função é par.
Passo 5
Periodicidade: procuramos
tal que
Mas
só coincide com
para todo
se
e
, ou seja
. Logo não há período positivo.
Passo 6
Esboço do gráfico:
– Vértice em .
– Concavidade para cima.
– Simétrica em relação ao eixo .
– Passa por ,
, etc.
– Vértice em
– Concavidade para cima.
– Simétrica em relação ao eixo
– Passa por
Em palavras, é a clássica parábola voltada para cima.
Resposta
Domínio:
Imagem:
Paridade: par
Período: não é periódica
Gráfico: parábola de vértice em , concavidade para cima, simétrica em relação ao eixo
, passando por
,
, ···
Imagem:
Paridade: par
Período: não é periódica
Gráfico: parábola de vértice em