Determine o domínio, a imagem, a paridade, o período, e esboce o gráfico das funções a seguir:
f(x)=x^2

Passo 1

O enunciado pede para analisarmos a função
f(x)=x^2
determinando seu domínio, sua imagem (conjunto-alvo), sua paridade, seu(s) eventual(is) período(s) e, por fim, esboçar o gráfico. Vamos usar conhecimentos de funções polinomiais e definição de paridade e periodicidade.

Passo 2

Domínio de uma função polinomial: todo polinômio está definido para qualquer xinR.
Portanto
Domínio = (-infty,infty) í

Passo 3

Imagem de f(x)=x^2: como o quadrado de um número real nunca é negativo e atinge 0 em x=0, temos
f(x)>= 0forall xinR,
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Ima>=m = [0,infty)

Passo 4

Paridade: calculamos f(-x):
f(-x) = (-x)^2 = x^2 = f(x)
Como f(-x)=f(x) para todo x, a função é par.

Passo 5

Periodicidade: procuramos T>0 tal que
f(x+T)=f(x)forall x
Mas
f(x+T)=(x+T)^2 = x^2 + 2Tx + T^2
só coincide com x^2 para todo x se 2T=0 e T^2=0, ou seja T=0. Logo não há período positivo.
Período: não é periódica íãéó

Passo 6

Esboço do gráfico:
– Vértice em (0,0).
– Concavidade para cima.
– Simétrica em relação ao eixo y.
– Passa por l(pm1,1r), l(pm2,4r), etc.
Em palavras, é a clássica parábola voltada para cima.

Resposta

Domínio: (-infty,infty)
Imagem: [0,infty)
Paridade: par
Período: não é periódica
Gráfico: parábola de vértice em (0,0), concavidade para cima, simétrica em relação ao eixo y, passando por (pm 1,1), (pm 2,4), ···

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