Nos exercícios a seguir, determine se as série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
sumn=1^infty n(23)^n

Passo 1

Então, mano, o enunciado pede pra gente analisar a série
sumn=1^infty nl(tfrac23r)^n
e dizer se ela é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Isso entra na matéria de séries numéricas, e o que a gente vai usar é o conceito de convergência absoluta e o teste da razão.

Passo 2

Antes de mais nada, o que é convergência absoluta? A gente diz que uma série sum an é absolutamente convergente se a série dos valores absolutos, sum |an|, convergir. Já a convergência condicional ocorre quando sum an converge, mas sum |an| diverge — isso costuma rolar em séries com sinais alternados.
No nosso caso an = n(2/3)^n é sempre positivo, então |an| = an. Isso quer dizer que, se a série sum an convergir, ela automaticamente é absolutamente convergente (não tem “condicional” pra termo sempre positivo). Se ela não convergir, aí é divergente.

Passo 3

Para ver se sum an converge, vamos aplicar o teste da razão. A regra diz:
calcule
L ;=;limntoinftyl|an+1anr|
  • Se L<1, a série converge absolutamente.
  • Se L>1, diverge.
  • Se L=1, o teste não é conclusivo.
Aqui
an+1 = (n+1)l(tfrac23r)^n+1 e an = nl(tfrac23r)^n
Então
an+1an =(n+1),(2/3)^,n+1n,(2/3)^,n =n+1n;cdot;23
Agora basta pegar o limite:
L = limntoinftyn+1n;cdot;23 =1;times;23 =23

Passo 4

Como L = tfrac23<1, o teste da razão garante que
sumn=1^infty nl(tfrac23r)^n
converge absolutamente.

Resposta

A série é absolutamente convergente.

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