Nos exercícios a seguir, determine se as série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Passo 1
Então, mano, o enunciado pede pra gente analisar a série
e dizer se ela é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Isso entra na matéria de séries numéricas, e o que a gente vai usar é o conceito de convergência absoluta e o teste da razão.
Passo 2
Antes de mais nada, o que é convergência absoluta? A gente diz que uma série é absolutamente convergente se a série dos valores absolutos, , convergir. Já a convergência condicional ocorre quando converge, mas diverge — isso costuma rolar em séries com sinais alternados.
No nosso caso é sempre positivo, então . Isso quer dizer que, se a série convergir, ela automaticamente é absolutamente convergente (não tem “condicional” pra termo sempre positivo). Se ela não convergir, aí é divergente.
Passo 3
Para ver se converge, vamos aplicar o teste da razão. A regra diz:
calcule
Se L<1, a série converge absolutamente.
Se L>1, diverge.
Se L=1, o teste não é conclusivo.
Aqui
an+1 = (n+1)l(tfrac23r)^n+1 e an = nl(tfrac23r)^n
Então
an+1an =(n+1),(2/3)^,n+1n,(2/3)^,n =n+1n;cdot;23
Agora basta pegar o limite:
L = limntoinftyn+1n;cdot;23 =1;times;23 =23
Passo 4
Como L = tfrac23<1, o teste da razão garante que sumn=1^infty nl(tfrac23r)^n
converge absolutamente.