Calcule
integral xraiz[4]x^2+2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral xraiz[4]x^2+2 , dx. Aqui estamos lidando com uma integral que envolve uma função racional e uma raiz de quarta ordem. Para resolver isso, vamos usar uma técnica chamada substituição, que nos ajuda a simplificar integrais complicadas transformando-as em algo mais fácil de resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma substituição que simplifique a expressão dentro da raiz. Observando a expressão x^2 + 2, uma boa escolha é definir u = x^2 + 2. Isso porque, ao derivarmos u em relação a x, vamos obter um termo que aparece no numerador da nossa integral.

Passo 3

Agora, vamos derivar u em relação a x para encontrar du:
du = ddx(x^2 + 2) , dx = 2x , dx
Isso nos dá:
x , dx = du2
Então, podemos substituir na integral original:
integral xraiz[4]x^2+2 , dx = integral 1raiz[4]u cdot du2 = 12 integral u^-1/4 , du

Passo 4

Vamos agora integrar u^-1/4 em relação a u. A integral de u^n é u^n+1n+1 + C, onde C é a constante de integração. Aplicando isso:
12 integral u^-1/4 , du = 12 cdot u^3/43/4 + C = 12 cdot 43 u^3/4 + C = 23 u^3/4 + C

Passo 5

Agora, vamos voltar à variável original x substituindo u = x^2 + 2:
23 u^3/4 + C = 23 (x^2 + 2)^3/4 + C

Resposta

A integral integral xraiz[4]x^2+2 , dx é igual a:
23 (x^2 + 2)^3/4 + C

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