Calcule os limites das funções abaixo.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para calcularmos:
Estamos lidando com limites envolvendo radicais e funções racionais, então vamos precisar usar técnicas de álgebra e propriedades de limites para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar substituir o valor de
diretamente na expressão para ver se conseguimos calcular o limite dessa forma.
Substituindo:
Numerador:
Denominador:
Portanto, ao substituir
, obtemos uma forma indeterminada
. Isso significa que precisamos manipular a expressão para resolver o limite.
Passo 3
Quando encontramos uma forma indeterminada
, uma técnica comum é racionalizar o numerador ou o denominador. No nosso caso, vamos racionalizar o numerador para simplificar a expressão.
A ideia da racionalização é multiplicar o numerador e o denominador pela conjugada do numerador. A conjugada de
é
.
Então, vamos multiplicar:
Passo 4
Ao multiplicar os numeradores, usamos a diferença de quadrados:
Aplicando isso:
Numerador:
Denominador:
Então, a expressão se torna:
Passo 5
Vamos simplificar o numerador e o denominador. No numerador, podemos fatorar:
No denominador, fatoramos
:
Substituindo na expressão:
Passo 6
Agora, percebemos que
aparece no numerador e no denominador, então podemos cancelar esse fator:
Passo 7
Agora que simplificamos a expressão, podemos calcular o limite substituindo
:
Substituindo
:
Denominador:
Portanto, a expressão se torna:
Resposta
O limite da função é
.