Calcule os limites das funções abaixo.
h) lim x 2 raizx^2-2 x+4-raizx^2+2 x-4x^2-3 x+2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para calcularmos:
lim x 2 raizx^2-2 x+4-raizx^2+2 x-4x^2-3 x+2
Estamos lidando com limites envolvendo radicais e funções racionais, então vamos precisar usar técnicas de álgebra e propriedades de limites para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir o valor de raiz2^2 - 2 cdot 2 + 4 - raiz2^2 + 2 cdot 2 - 4 = raiz4 - 4 + 4 - raiz4 + 4 - 4 = raiz4 - raiz4 = 2 - 2 = 0 diretamente na expressão para ver se conseguimos calcular o limite dessa forma.
Substituindo:
Numerador:
2^2 - 3 cdot 2 + 2 = 4 - 6 + 2 = 0
Denominador:
Portanto, ao substituir , obtemos uma forma indeterminada . Isso significa que precisamos manipular a expressão para resolver o limite.

Passo 3

Quando encontramos uma forma indeterminada raizx^2-2x+4 - raizx^2+2x-4x^2-3x+2 times raizx^2-2x+4 + raizx^2+2x-4raizx^2-2x+4 + raizx^2+2x-4 , uma técnica comum é racionalizar o numerador ou o denominador. No nosso caso, vamos racionalizar o numerador para simplificar a expressão.
A ideia da racionalização é multiplicar o numerador e o denominador pela conjugada do numerador. A conjugada de é .
Então, vamos multiplicar:

Passo 4

Ao multiplicar os numeradores, usamos a diferença de quadrados:
(a - b)(a + b) = a^2 - b^2
Aplicando isso:
Numerador:
(raizx^2-2x+4)^2 - (raizx^2+2x-4)^2 = (x^2 - 2x + 4) - (x^2 + 2x - 4) = x^2 - 2x + 4 - x^2 - 2x + 4 = -4x + 8
Denominador:
(x^2-3x+2)(raizx^2-2x+4 + raizx^2+2x-4)
Então, a expressão se torna:
-4x + 8(x^2-3x+2)(raizx^2-2x+4 + raizx^2+2x-4)

Passo 5

Vamos simplificar o numerador e o denominador. No numerador, podemos fatorar:
-4x + 8 = -4(x - 2)
No denominador, fatoramos x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2) :
-4(x - 2)(x - 1)(x - 2)(raizx^2-2x+4 + raizx^2+2x-4)
Substituindo na expressão:

Passo 6

Agora, percebemos que -4(x - 1)(raizx^2-2x+4 + raizx^2+2x-4) aparece no numerador e no denominador, então podemos cancelar esse fator:

Passo 7

Agora que simplificamos a expressão, podemos calcular o limite substituindo (2 - 1)(raiz2^2-2 cdot 2 + 4 + raiz2^2+2 cdot 2 - 4) = 1 (raiz4 - 4 + 4 + raiz4 + 4 - 4) = 1 (2 + 2) = 4 :
Substituindo -44 = -1 :
Denominador:
Portanto, a expressão se torna:

Resposta

O limite da função é .

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