Calcule: integral z^2z^2+1 d z

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse exercício está na área de Cálculo Integral, especificamente lidando com a integração de funções racionais. Para resolver isso, vamos precisar realizar uma divisão de polinômios e usar uma fórmula básica de integrais. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, percebemos que o grau do polinômio no numerador ( ) é igual ao grau do denominador ( ). Quando isso acontece, a gente pode fazer uma divisão de polinômios para simplificar a expressão.

Passo 3

Vamos dividir z^2z^2+1 = 1 - 1z^2+1 por . Assim:
Isso porque .

Passo 4

Agora, substituímos essa expressão na integral original:
integral z^2z^2+1 , dz = integral (1 - 1z^2+1) , dz

Passo 5

Vamos separar a integral em duas partes:
integral 1 , dz - integral 1z^2+1 , dz

Passo 6

A primeira integral é simples:
integral 1 , dz = z

Passo 7

Para a segunda integral, reconhecemos que a integral de integral 1z^2+1 , dz = arctan(z) é uma fórmula conhecida:

Passo 8

Substituindo de volta, temos:
z - arctan(z) + C
onde é a constante de integração.

Resposta

integral z^2z^2+1 , dz = z - arctan(z) + C

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