Sejam u, v e w vetores de V^3. Mostre que:
(1) Se u + v = u + w, então v = w.
(2) Se u + v = w + v, então u = w.
(3) Se u + v = u, então v = 0.
(4) Se u + v = 0, então v = -u.
(5) O elemento oposto de u é -1 * u.
As igualdades (1) e (2) são chamadas de leis do cancelamento da adição.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício que trata de vetores no espaço V^3. A gente precisa provar algumas propriedades envolvendo a soma de vetores e seus opostos. Para resolver isso, vamos usar noções básicas de álgebra vetorial, como a definição de vetor nulo, vetor oposto e as leis de cancelamento da adição. Vamos passo a passo!

Passo 2

(1) Se , então .
Primeiro, queremos mostrar que se somando u com v dá o mesmo que somando u com w, então v e w são iguais. Para isso, podemos “cancelar” u dos dois lados da equação.

Passo 3

Para cancelar, vamos subtrair u de ambos os lados:
Sabemos que (vetor nulo), então:

Passo 4

(2) Se , então .
Aqui, a ideia é similar ao primeiro caso. Queremos eliminar v dos dois lados para isolar u e w.

Passo 5

Subtraindo v de ambos os lados:
Como , temos:

Passo 6

(3) Se , então .
Queremos mostrar que, se adicionar v a u não muda u, então v deve ser o vetor nulo.

Passo 7

Subtraindo u de ambos os lados:
Isso simplifica para:

Passo 8

(4) Se , então .
Aqui, queremos encontrar um vetor v que, somado a u, dá o vetor nulo. Esse vetor v é o oposto de u.

Passo 9

Isolando v:
Isso significa que v é o vetor que, quando somado a u, anula o efeito de u, resultando no vetor nulo.

Passo 10

(5) O elemento oposto de u é -1 * u.
Queremos mostrar que multiplicar u por -1 nos dá o vetor oposto de u.

Passo 11

Por definição, o vetor oposto de u é aquele que, somado a u, resulta no vetor nulo:
Multiplicando por escalar -1:
Assim, mostramos que o elemento oposto de u é -1 * u.

Resposta

Demonstramos que todas as afirmações são verdadeiras utilizando as leis de cancelamento da adição e as definições de vetor nulo e vetor oposto. Portanto:
  1. Se , então .
  2. Se , então .
  3. Se , então .
  4. Se , então .
  5. O elemento oposto de u é -1 * u.

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