Sejam e vetores de . Mostre que:
(1) Se , então .
(2) Se , então .
(3) Se , então .
(4) Se , então .
(5) O elemento oposto de u é -1 * u.
As igualdades (1) e (2) são chamadas de leis do cancelamento da adição.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício que trata de vetores no espaço V^3. A gente precisa provar algumas propriedades envolvendo a soma de vetores e seus opostos. Para resolver isso, vamos usar noções básicas de álgebra vetorial, como a definição de vetor nulo, vetor oposto e as leis de cancelamento da adição. Vamos passo a passo!
Passo 2
(1) Se , então .
Primeiro, queremos mostrar que se somando u com v dá o mesmo que somando u com w, então v e w são iguais. Para isso, podemos “cancelar” u dos dois lados da equação.
Passo 3
Para cancelar, vamos subtrair u de ambos os lados:
Sabemos que (vetor nulo), então:
Passo 4
(2) Se , então .
Aqui, a ideia é similar ao primeiro caso. Queremos eliminar v dos dois lados para isolar u e w.
Passo 5
Subtraindo v de ambos os lados:
Como , temos:
Passo 6
(3) Se , então .
Queremos mostrar que, se adicionar v a u não muda u, então v deve ser o vetor nulo.
Passo 7
Subtraindo u de ambos os lados:
Isso simplifica para:
Passo 8
(4) Se , então .
Aqui, queremos encontrar um vetor v que, somado a u, dá o vetor nulo. Esse vetor v é o oposto de u.
Passo 9
Isolando v:
Isso significa que v é o vetor que, quando somado a u, anula o efeito de u, resultando no vetor nulo.
Passo 10
(5) O elemento oposto de u é -1 * u.
Queremos mostrar que multiplicar u por -1 nos dá o vetor oposto de u.
Passo 11
Por definição, o vetor oposto de u é aquele que, somado a u, resulta no vetor nulo:
Multiplicando por escalar -1:
Assim, mostramos que o elemento oposto de u é -1 * u.
Resposta
Demonstramos que todas as afirmações são verdadeiras utilizando as leis de cancelamento da adição e as definições de vetor nulo e vetor oposto. Portanto: