Calcule os limites das funções abaixo.
g) lim h 0 (x+h)^13-x^13h

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O exercício pede para calcular o limite da função . Aqui, vamos usar conceitos de limites e propriedades das potências fracionárias para chegar à resposta. Vamos precisar lembrar como expandir expressões com expoentes fracionários e simplificar frações.

Passo 2

Primeiro, observamos que estamos lidando com uma diferença de potências fracionárias no numerador. Para simplificar, vamos usar a expansão de binômio para quando é muito pequeno (tende a 0). A ideia é aproximar essa expressão para facilitar o cálculo do limite.

Passo 3

A expansão de binômio para (x + h)^13 approx x^13 + 13x^-23h quando é pequeno é aproximadamente:
Isso significa que podemos substituir por essa aproximação na expressão original.

Passo 4

Substituindo a aproximação na fórmula do limite, temos:
(x + h)^13 - x^13h approx x^13 + 13x^-23h - x^13h
Simplificando o numerador:
13x^-23hh = 13x^-23

Passo 5

Agora, ao tomar o limite quando 13x^-23 tende a 0, a expressão não depende de , então o limite é simplesmente:

Resposta

O limite é .

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