Calcule o volume da cunha da esfera
determinada pelos planos
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o volume da cunha (ou seja, uma parte específica) da esfera definida pela equação
, limitada pelos planos
e
. A gente vai usar cálculo em coordenadas esféricas para resolver isso, pois facilita bastante na hora de calcular volumes de regiões esféricas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a esfera. A equação
representa uma esfera com raio
e centro na origem do sistema de coordenadas. Agora, os planos
e
vão cortar essa esfera, definindo a região cuja volume queremos encontrar.
Passo 3
Para facilitar os cálculos, vamos usar coordenadas esféricas, onde qualquer ponto é representado por
, com:
-
: distância do ponto à origem -
: ângulo com o eixo z -
: ângulo no plano xy a partir do eixo x
Na esfera dada,
.
Passo 4
Agora, vamos determinar os limites de integração para
e
:
-
Para
: - O plano
corresponde a . - O plano
corresponde a . - Então,
varia de a .
- O plano
-
Para
: - Como não há restrição no eixo z,
varia de 0 a .
- Como não há restrição no eixo z,
-
Para
: - Varia de 0 a 3, que é o raio da esfera.
Passo 5
Vamos montar a integral para o volume usando coordenadas esféricas. A fórmula para o volume em coordenadas esféricas é:
Vamos resolver essa integral passo a passo:
-
Integral em
: -
Integral em
: -
Integral em
:
Multiplicando tudo:
Resposta
O volume da cunha da esfera é
unidades cúbicas.