Calcule o volume da cunha da esfera x^2 + y^2 + z^2 = 9 determinada pelos planos x - y = 0 e x = 0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o volume da cunha (ou seja, uma parte específica) da esfera definida pela equação , limitada pelos planos e . A gente vai usar cálculo em coordenadas esféricas para resolver isso, pois facilita bastante na hora de calcular volumes de regiões esféricas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a esfera. A equação representa uma esfera com raio e centro na origem do sistema de coordenadas. Agora, os planos e vão cortar essa esfera, definindo a região cuja volume queremos encontrar.

Passo 3

Para facilitar os cálculos, vamos usar coordenadas esféricas, onde qualquer ponto é representado por , com:
  • : distância do ponto à origem
  • : ângulo com o eixo z
  • : ângulo no plano xy a partir do eixo x
Na esfera dada, .

Passo 4

Agora, vamos determinar os limites de integração para e :
  • Para :
    • O plano corresponde a .
    • O plano corresponde a .
    • Então, varia de a .
  • Para :
    • Como não há restrição no eixo z, varia de 0 a .
  • Para :
    • Varia de 0 a 3, que é o raio da esfera.

Passo 5

Vamos montar a integral para o volume usando coordenadas esféricas. A fórmula para o volume em coordenadas esféricas é:
Vamos resolver essa integral passo a passo:
  1. Integral em :
  2. Integral em :
  3. Integral em :
Multiplicando tudo:

Resposta

O volume da cunha da esfera é unidades cúbicas.

Exercícios relacionados