Calcule: integral z+3x^2+2 x+2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral z+3x^2+2 x+2 , dx. Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente integrando uma função racional. Para resolver isso, vamos precisar completar o quadrado no denominador e usar uma fórmula de integração que envolve a função arco-tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar o denominador da fração: x^2 + 2x + 2. Para simplificar, vamos completar o quadrado. Completar o quadrado ajuda a reescrever a expressão de uma forma que facilita a integração.

Passo 3

Completar o quadrado da expressão x^2 + 2x + 2:
x^2 + 2x + 2 = (x^2 + 2x + 1) + 1 = (x + 1)^2 + 1
Agora, a integral fica:
integral z+3(x + 1)^2 + 1 , dx

Passo 4

Agora, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Seja u = x + 1, então du = dx. Substituindo na integral:
integral z+3u^2 + 1 , du

Passo 5

A integral integral 1u^2 + 1 , du é uma forma padrão que resulta na função arco-tangente. Sabemos que:
integral 1u^2 + 1 , du = arctan(u) + C
Portanto, aplicando isso à nossa integral:
(z + 3) integral 1u^2 + 1 , du = (z + 3) arctan(u) + C

Passo 6

Finalmente, substituímos u de volta por x + 1:
(z + 3) arctan(x + 1) + C

Resposta

A integral é igual a (z + 3) arctan(x + 1) + C.

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