Calcule: integral0^1 11+e^x d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral definida de de 0 a 1. Isso envolve cálculo de integrais, mais especificamente integrais definidas. Para resolver, vamos precisar usar uma técnica de substituição, que simplifica a integral para algo que a gente já sabe como integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a expressão. Vamos definir . Isso ajuda a transformar a integral em termos de , facilitando a integração.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o diferencial de du = e^x dx , ou seja, dx = due^x = duu . Derivando em relação a , temos:
Para isolar , dividimos ambos os lados por :

Passo 4

Substituímos agora integral 11 + u cdot duu e integral 1u(1 + u) du na integral original. A integral fica:
Isso simplifica para:

Passo 5

Essa integral pode ser resolvida usando frações parciais. A gente decompõe 1u(1 + u) = Au + B1 + u em duas frações mais simples:
integral ( 1u - 11 + u ) du
Resolvendo para ln|u| - ln|1 + u| + C e , encontramos que e . Então, a integral fica:
Integrando cada termo separadamente:

Passo 6

Agora, vamos voltar para a variável original ln(e^x) - ln(1 + e^x) = x - ln(1 + e^x) . Lembrando que 1 - ln(1 + e^1) , substituímos de volta:
0 - ln(1 + e^0) = -ln(2)
Agora, avaliamos de 0 a 1:
Para [1 - ln(1 + e)] - [-ln(2)] = 1 - ln(1 + e) + ln(2) :
Para :
Subtraindo:

Resposta

Portanto, o valor da integral é:
1 + ln(2) - ln(1 + e)

Exercícios relacionados