Calcule:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral definida de
de 0 a 1. Isso envolve cálculo de integrais, mais especificamente integrais definidas. Para resolver, vamos precisar usar uma técnica de substituição, que simplifica a integral para algo que a gente já sabe como integrar.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a expressão. Vamos definir
. Isso ajuda a transformar a integral em termos de
, facilitando a integração.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o diferencial de
, ou seja,
. Derivando
em relação a
, temos:
Para isolar
, dividimos ambos os lados por
:
Passo 4
Substituímos agora
e
na integral original. A integral fica:
Isso simplifica para:
Passo 5
Essa integral pode ser resolvida usando frações parciais. A gente decompõe
em duas frações mais simples:
Resolvendo para
e
, encontramos que
e
. Então, a integral fica:
Integrando cada termo separadamente:
Passo 6
Agora, vamos voltar para a variável original
. Lembrando que
, substituímos de volta:
Agora, avaliamos de 0 a 1:
Para
:
Para
:
Subtraindo:
Resposta
Portanto, o valor da integral é: