Determine os vetores velocidade e posição de uma partícula, dadas a sua aceleração, velocidade e posição iniciais:
a(t)=2 i+6 t j+12 t^2 k, v(0)=i e r(0)=j-k

Passo 1

O enunciado fornece a aceleração
a(t)=2,i+6t,j+12t^2,k,
além da velocidade inicial v(0)=i e da posição inicial r(0)=j-k.
Estamos na cinemática vetorial e vamos usar integrais de cada componente de a(t) para obter v(t) e depois integrar v(t) para achar r(t), aplicando as condições iniciais para determinar as constantes de integração.

Passo 2

Para achar v(t) integramos cada componente de a(t):
v(t)=integral a(t),dt =integrall(2,i+6t,j+12t^2,kr),dt =2t,i+3t^2,j+4t^3,k+C
Como v(0)=C=i, concluímos
v(t)=(2t+1),i+3t^2,j+4t^3,k

Passo 3

Para achar r(t) integramos v(t) componente a componente:
r(t)=integral v(t),dt =integrall((2t+1),i+3t^2,j+4t^3,kr),dt =(t^2+t),i+t^3,j+t^4,k+D
Impondo r(0)=D=j-k, obtemos
r(t)=(t^2+t),i+l(t^3+1r),j+l(t^4-1r),k

Resposta

v(t)=(2t+1),i+3t^2,j+4t^3,k
r(t)=(t^2+t),i+(t^3+1),j+(t^4-1),k

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